Considere o conjunto
W=\left\{A \in M_{2 \times 2} \left\lvert\, A \cdot\binom{1}{2}=\binom{0}{0}\right.\right\}
a) Verifique que W é um subespaço vetorial de M_{2 \times 2}.
b) Ache uma base e a dimensão deste espaço.

Passo 1

O enunciado define
W = \bigl\{A\in M_{2\times2}\mid A\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}\bigr\}.
Pede (a) verificar que W é subespaço vetorial de M_{2\times2} e (b) achar uma base e a dimensão de W. Para (a) usaremos a definição de subespaço (zero, fechamentos) e para (b) parametrizaremos as condições lineares em A.

Passo 2

Para ver que W é subespaço vetorial basta checar:
(i) o zero pertence a W,
(ii) fechado para soma,
(iii) fechado para multiplicação por escalar.
(i) O zero de M_{2\times2} é
0 = \begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix},
e
0\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix},
logo 0\in W.
(ii) Se A,B\in W então
(A+B)\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix} + B\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix},
logo A+B\in W.
(iii) Se A\in W e \lambda\in\mathbb{R} então
(\lambda A)\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix} = \lambda\Bigl(A\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix}\Bigr) = \lambda\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix},
logo \lambda A\in W.
Portanto W é subespaço.

Passo 3

Agora escrevemos uma matriz genérica
A=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}
e impomos
A\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a+2b\c+2d\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
Isso dá
a+2b=0, \quad c+2d=0 \;\Longrightarrow\; a=-2b,\; c=-2d.
Logo
A=\begin{pmatrix}-2b&b\\\ -2d&d\end{pmatrix} = b\begin{pmatrix}-2&1\\\ 0&0\end{pmatrix} + d\begin{pmatrix}0&0\\\ -2&1\end{pmatrix}.

Passo 4

Os parâmetros livres são b e d, então podemos escolher como base
B_1=\begin{pmatrix}-2&1\\\ 0&0\end{pmatrix}, \quad B_2=\begin{pmatrix}0&0\\\ -2&1\end{pmatrix}.
É fácil ver que B_1 e B_2 são linearmente independentes e geram W. Portanto
\{B_1,B_2\}
é uma base de W e
\dim W = 2.

Resposta

Uma base de W é
\left\{ \begin{pmatrix}-2&1\\\ 0&0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&0\\\ -2&1\end{pmatrix} \right\},
e \dim W = 2.

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