W=\left\{A \in M_{2 \times 2} \left\lvert\, A \cdot\binom{1}{2}=\binom{0}{0}\right.\right\}
a) Verifique que W é um subespaço vetorial de M_{2 \times 2}.
b) Ache uma base e a dimensão deste espaço.
Passo 1
O enunciado define
W = \bigl\{A\in M_{2\times2}\mid A\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}\bigr\}.
Pede (a) verificar que W é subespaço vetorial de M_{2\times2} e (b) achar uma base e a dimensão de W. Para (a) usaremos a definição de subespaço (zero, fechamentos) e para (b) parametrizaremos as condições lineares em A.
Passo 2
Para ver que W é subespaço vetorial basta checar:
(i) o zero pertence a W,
(ii) fechado para soma,
(iii) fechado para multiplicação por escalar.
(i) O zero de M_{2\times2} é