Em \mathbb{R}^{4} considere os subespaços
U=[\{(1,2,0,1),(1,0,3,3)\}], W=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} \mid w=0, y=-2 z\right\}
a) Encontre uma base para W e determine a sua dimensão.
b) Encontre uma base para U \cap W e uma base para U+W.

Passo 1

O enunciado trabalha em \mathbb{R}^4 com
\;U=\mathrm{span}\{u_1,u_2\}, em que
u_1=(1,2,0,1),\quad u_2=(1,0,3,3),
e
W=\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4\mid w=0,\;y=-2z\}.
Pede-se
a) uma base de W e \dim W.
b) uma base de U\cap W e uma base de U+W.

Passo 2

Parametrizamos W impondo w=0 e y=-2z. Um vetor genérico em W é
(x,y,z,w)=(x,\,-2z,\,z,\,0) =x\,(1,0,0,0)+z\,(0,-2,1,0).
Logo \{(1,0,0,0),\,(0,-2,1,0)\} gera W.

Passo 3

Como os dois vetores são linearmente independentes,
\dim W=2.

Passo 4

Um vetor genérico em U é
v=a\,u_1+b\,u_2 =(a+b,\;2a,\;3b,\;a+3b).

Passo 5

Para v pertencer a W precisamos a+3b=0 (para w=0) e 2a=-2\cdot(3b) (para y=-2z). A segunda dá a=-3b, que já satisfaz a primeira.

Passo 6

Substituindo a=-3b em v obtemos
v=(-3b+b,\;2(-3b),\;3b,\;0) =(-2b,\,-6b,\,3b,\,0) =b\,(-2,-6,3,0).
Escolhendo b=1, uma base de U\cap W é \{(-2,-6,3,0)\} e
\dim(U\cap W)=1.

Passo 7

Usando a fórmula
\dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W)=2+2-1=3.

Passo 8

Vimos que (1,0,0,0)\in W mas não está em U, então os três vetores
u_1=(1,2,0,1),\quad u_2=(1,0,3,3),\quad w_1=(1,0,0,0)
são independentes e geram U+W. Portanto formam base de U+W.

Resposta

(a) Base de W: \{(1,0,0,0),\;(0,-2,1,0)\}. \dim W=2.
(b) Base de U\cap W: \{(-2,-6,3,0)\}.
Base de U+W: \{(1,2,0,1),\;(1,0,3,3),\;(1,0,0,0)\}.

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