Considere os vetores de \mathbb{R}^{3} abaixo
v_{1}=(1,0,1), v_{2}=(0,1,1), v_{3}=(1,2,2)
a) Verifique que A=\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\} é base de \mathbb{R}^{3}.
b) Escreva v=(1,0,0) como combinação linear dos vetores v_{1}, v_{2}, v_{3}.

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores em \mathbb{R}^3:
\;v_{1}=(1,0,1), \;v_{2}=(0,1,1), \;v_{3}=(1,2,2).
Precisamos (a) mostrar que A=\{v_{1},v_{2},v_{3}\} é uma base de \mathbb{R}^3 (isto é, provar que são linearmente independentes e geram \mathbb{R}^3) e depois (b) escrever o vetor v=(1,0,0) como combinação linear desses vetores.

Passo 2

Para checar a independência linear usamos o critério do determinante. Montamos a matriz cujas colunas são v_{1},v_{2},v_{3}:
M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 2 \\\\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}
Calculando o determinante por expansão:
\det(M) =1\cdot(1\cdot2-2\cdot1) -0\cdot(0\cdot2-2\cdot1) +1\cdot(0\cdot1-1\cdot1) =(2-2)+0+(0-1) =-1.
Como \det(M)\neq0, os vetores são linearmente independentes e, por terem exatamente três vetores em \mathbb{R}^3, formam uma base.

Passo 3

Para achar a combinação linear de v=(1,0,0), escrevemos
a\,v_{1}+b\,v_{2}+c\,v_{3}=(1,0,0)
e igualamos coordenada a coordenada, obtendo o sistema
\begin{cases} a + c = 1,\\\ b + 2c = 0,\\\ a + b + 2c = 0. \end{cases}

Passo 4

Da primeira equação vem a=1-c. Da segunda, b=-2c. Substituindo na terceira:
(1-c)+(-2c)+2c=0 \;\Longrightarrow\;1-c=0 \;\Longrightarrow\;c=1.
Logo a=1-1=0 e b=-2. Assim
(1,0,0) =0\cdot v_{1} -2\cdot v_{2} +1\cdot v_{3}.

Resposta

a) A=\{v_{1},v_{2},v_{3}\} é base de \mathbb{R}^3 porque \det(M)=-1\neq0.
b) (1,0,0)=0\,v_{1}-2\,v_{2}+1\,v_{3}.

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