Verifique se o conjunto X=v1=(-1,0,2), v2=(1,-1,-1), v3= (1,-3,1), v4=(1,-4,2) gera o espaço vetorial R^3.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
X=v1=(-1,0,2),;v2=(1,-1,-1),;v3=(1,-3,1),;v4=(1,-4,2)
gera o espaço R^3.
O conteúdo aqui é “span” de vetores em R^3. Para checar se eles geram todo R^3, vamos montar a matriz cujas colunas são esses vetores e calcular o posto (rank) por eliminação de Gauss. Se o posto for 3, geram R^3; se for menor, não geram.

Passo 2

Montamos a matriz
A= -1 & 1 & 1 & 1 0 & -1 & -3 & -4 2 & -1 & 1 & 2 ,
cuja j-ésima coluna é o vetor vj. Agora aplicamos eliminação de Gauss para achar o posto de A.

Passo 3

Fazendo operações sobre as linhas de A:
  1. R1 -R1 para ter pivô 1 na coluna 1:
1 & -1 & -1 & -1 0 & -1 & -3 & -4 2 & -1 & 1 & 2
  1. R3 R3-2,R1:
1 & -1 & -1 & -1 0 & -1 & -3 & -4 0 & 1 & 3 & 4
  1. R2 -R2:
1 & -1 & -1 & -1 0 & 1 & 3 & 4 0 & 1 & 3 & 4
  1. R3 R3-R2 e depois R1 R1+R2:
1 & 0 & 2 & 3 0 & 1 & 3 & 4 0 & 0 & 0 & 0

Passo 4

Na forma escalonada vemos que há apenas duas linhas não nulas, então
rank(A)=2<3
Como o posto é menor que 3, as colunas de A (isto é, os vetores v1,v2,v3,v4) não abrangem todo R^3.

Resposta

O conjunto X não gera R^3.

Exercícios relacionados