Considere os conjuntos B e C, B=\{(1,2,0,0),(0,1,1,0),(0,0,1,2)\}
e C=\{(1,1,0,1),(1,1,0,0),(-2,-2,0,1)\}. Sejam V_{B} e V_{C} os subespaços gerados por B e C respectivamente.
a) 1,0 Verifique que B é uma base de V_{B} e determine uma base para V_{C} formada por vetores de C.
Considere agora uma Transformção Linear T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4} que satisfaz T\left(V_{B}\right)=V_{C}.
b) 1,0 Descreva a imagem dos vetores da base B pela Transformação T.
c) 1,0 Determine a matriz [T] da Transformação na base canônica de \mathbb{R}^{4}.
e) 1,0 A transformação T poderia ser definida de forma a ser injetiva? E sobrejetiva?
Definimos V_B=\Span(B) e V_C=\Span\text{(C)}.
Os conteúdos chave são: independência e base de subespaços em \mathbb{R}^4, imagens de vetores por transformação linear e representação matricial na base canônica.
Passo 2
Verificação de que B\) é base de \(V_B\) e determinação de base dentro de \(C\).
– Para ver que \(B\) é independente, basta resolver
\[\alpha b_1+\beta b_2+\gamma b_3=0.
Logo b_1,b_2,b_3\] são independentes e formam base de \(V_B.
– Para C, resolvemos
x\,c_1+y\,c_2+z\,c_3=0,
o que dá as equações
x+y-2z=0,\quad x+y-2z=0,\quad x+z=0.
Daqui z=-x,\;y=-3x, então o espaço gerado tem dimensão 2. Uma escolha de base é
\{c_1,\;c_2\} = \{(1,1,0,1),\;(1,1,0,0)\}.
Passo 3
Definimos T\colon\mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4 exigindo T(V_B)=V_C. Uma escolha natural é mandar os geradores de B nos três vetores de C, o que garante \Span(T(B))=\Span\text{(C)}. Assim tomamos
Analisando injetividade e sobrejetividade de T em \mathbb{R}^4:
– Como T(b_1),T(b_2),T(b_3) são linearmente dependentes (estão contidos em V_C, que tem dimensão 2), \ker T\neq\{0\}. Logo T não é injetiva.
– Em espaços de dimensão finita iguais (\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4), injetividade equivale a sobrejetividade. Assim, não sendo injetiva, T também não é sobrejetiva.
Resposta
a) B é independente em \mathbb{R}^4 e, portanto, base de V_B. Uma base de V_C extraída de C é