Considere os conjuntos B e C, B=\{(1,2,0,0),(0,1,1,0),(0,0,1,2)\}
e C=\{(1,1,0,1),(1,1,0,0),(-2,-2,0,1)\}. Sejam V_{B} e V_{C} os subespaços gerados por B e C respectivamente.
a) 1,0 Verifique que B é uma base de V_{B} e determine uma base para V_{C} formada por vetores de C.
Considere agora uma Transformção Linear T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4} que satisfaz T\left(V_{B}\right)=V_{C}.
b) 1,0 Descreva a imagem dos vetores da base B pela Transformação T.
c) 1,0 Determine a matriz [T] da Transformação na base canônica de \mathbb{R}^{4}.
e) 1,0 A transformação T poderia ser definida de forma a ser injetiva? E sobrejetiva?

Passo 1

O enunciado define
B = \{b_1,b_2,b_3\} com
b_1=(1,2,0,0),\quad b_2=(0,1,1,0),\quad b_3=(0,0,1,2),
e C = \{c_1,c_2,c_3\} com
c_1=(1,1,0,1),\quad c_2=(1,1,0,0),\quad c_3=(-2,-2,0,1).
Definimos V_B=\Span(B) e V_C=\Span\text{(C)}.
Os conteúdos chave são: independência e base de subespaços em \mathbb{R}^4, imagens de vetores por transformação linear e representação matricial na base canônica.

Passo 2

Verificação de que B\) é base de \(V_B\) e determinação de base dentro de \(C\). – Para ver que \(B\) é independente, basta resolver \[\alpha b_1+\beta b_2+\gamma b_3=0.
Escrevendo coordenadas, obtemos o sistema
\begin{cases} \alpha=0,\\\\ 2\alpha+\beta=0,\\\ \beta+\gamma=0,\\\\ 2\gamma=0 \end{cases} \;\implies\;\alpha=\beta=\gamma=0.
Logo b_1,b_2,b_3\] são independentes e formam base de \(V_B.
– Para C, resolvemos
x\,c_1+y\,c_2+z\,c_3=0,
o que dá as equações
x+y-2z=0,\quad x+y-2z=0,\quad x+z=0.
Daqui z=-x,\;y=-3x, então o espaço gerado tem dimensão 2. Uma escolha de base é
\{c_1,\;c_2\} = \{(1,1,0,1),\;(1,1,0,0)\}.

Passo 3

Definimos T\colon\mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4 exigindo T(V_B)=V_C. Uma escolha natural é mandar os geradores de B nos três vetores de C, o que garante \Span(T(B))=\Span\text{(C)}. Assim tomamos
T(b_1)=c_1,\quad T(b_2)=c_2,\quad T(b_3)=c_3.
Em componentes:
T(1,2,0,0)=(1,1,0,1),\quad T(0,1,1,0)=(1,1,0,0),\quad T(0,0,1,2)=(-2,-2,0,1).

Passo 4

Para achar a matriz de T na base canônica, escrevemos as colunas a_j=T(e_j). Da condição do passo anterior vemos que, se denotarmos
a_1,a_2,a_3,a_4
as colunas de [T], elas devem satisfazer
a_1+2a_2=c_1,\quad a_2+a_3=c_2,\quad a_3+2a_4=c_3.
Escolhendo para simplificar a_4=0, resolvemos e obtemos
a_2=c_2-c_3=(3,3,0,-1),\quad a_3=c_2-a_2=c_3,\quad a_1=c_1-2a_2=(-5,-5,0,3).
Logo uma possível matriz é
[T] =\begin{pmatrix} -5 & 3 & -2 & 0\\\\ -5 & 3 & -2 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 3 & -1& 1 & 0 \end{pmatrix},
que de fato envia b_i em c_i.

Passo 5

Analisando injetividade e sobrejetividade de T em \mathbb{R}^4:
– Como T(b_1),T(b_2),T(b_3) são linearmente dependentes (estão contidos em V_C, que tem dimensão 2), \ker T\neq\{0\}. Logo T não é injetiva.
– Em espaços de dimensão finita iguais ( \mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4), injetividade equivale a sobrejetividade. Assim, não sendo injetiva, T também não é sobrejetiva.

Resposta

a) B é independente em \mathbb{R}^4 e, portanto, base de V_B. Uma base de V_C extraída de C é
\{(1,1,0,1),\;(1,1,0,0)\}.
b)
T(1,2,0,0)=(1,1,0,1),\quad T(0,1,1,0)=(1,1,0,0),\quad T(0,0,1,2)=(-2,-2,0,1).
c) Uma escolha de matriz de T na base canônica é
[T] =\begin{pmatrix} -5 & 3 & -2 & 0\\\\ -5 & 3 & -2 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 3 & -1& 1 & 0 \end{pmatrix}.
e) T não pode ser injetiva (tem núcleo não trivial) e, portanto, não é sobrejetiva.

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