Sejam T(x, y, z)=(x-2 y, x+z, y+z).
a) 1,0 Determine a matriz de T na base canônica.
b) 1,0 T é bijetora? Em caso afirmativo determine a expressão da inversa T^{-1}(x, y, z).
c) 1,0 Seja \beta=\{(1,0,1),(2,0,0),(0,1,0)\} base de \mathbb{R}^{3}. Se [T]_{\alpha}^{\beta}=I d_{3}, isto é, a matriz da transformação Linear T dada no enunciado, escrita da base \beta para a base \alpha é a matriz identidade em \mathbb{R}^{3}, então determine a base \alpha.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3,\quad T(x,y,z) = (\,x - 2y,\;x + z,\;y + z\,).
Vamos (a) encontrar a matriz de T na base canônica, (b) verificar se T é bijetora e, em caso afirmativo, achar T^{-1}, e (c) dada a base \beta=\{(1,0,1),(2,0,0),(0,1,0)\} e sabendo que [T]_{\alpha}^{\beta}=I_3, determinar a base \alpha.

Passo 2

Para a matriz na base canônica, calculamos T(e_1), T(e_2), T(e_3):
T(1,0,0) = (1,1,0),\quad T(0,1,0) = (-2,0,1),\quad T(0,0,1) = (0,1,1).
Assim, a matriz de T em relação à base canônica é
A = [T]_{\text{can}} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\[6pt] 1 & 0 & 1 \\[3pt] 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 3

O determinante de A vale
\det A = 1\cdot\begin{vmatrix}0&1\\\ 1&1\end{vmatrix} -(-2)\cdot\begin{vmatrix}1&1\\\ 0&1\end{vmatrix} = 1\,(0\cdot1 -1\cdot1) +2\,(1\cdot1-1\cdot0) = -1 +2 = 1 \neq 0.
Logo T é bijetora. Para achar T^{-1}(u,v,w), resolvemos
u = x-2y,\quad v = x+z,\quad w = y+z
e obtemos
y = v - u - w,\quad z = u - v +2w,\quad x = 2v - u -2w.
Portanto,
T^{-1}(u,v,w) =\bigl(\,2v - u -2w,\;v - u - w,\;u - v +2w\,\bigr).

Passo 4

Queremos [T]_{\alpha}^{\beta}=I_3. Isso significa que, para os vetores a_1,a_2,a_3 de \alpha, vale
T(a_1)=\beta_1=(1,0,1),\quad T(a_2)=\beta_2=(2,0,0),\quad T(a_3)=\beta_3=(0,1,0).
Chamando a_i=(x_i,y_i,z_i) e impondo
x_i -2y_i = \beta_{i1},\quad x_i + z_i = \beta_{i2},\quad y_i + z_i = \beta_{i3},
resolvemos para cada i. O resultado é
a_1 = (-3,-2,3),\quad a_2 = (-2,-2,2),\quad a_3 = (2,1,-1).
Assim,
\alpha = \{\,(-3,-2,3),\,(-2,-2,2),\,(2,1,-1)\}.

Resposta

(a)
[T]_{\text{can}} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\[3pt] 1 & 0 & 1 \\[3pt] 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
(b) Sim, como \det A=1\neq0. Além disso, para (x,y,z)\in\mathbb{R}^3,
T^{-1}(x,y,z) =\bigl(\,2y - x -2z,\;y - x - z,\;x - y +2z\,\bigr).
(c)
\alpha = \{\,(-3,-2,3),\;(-2,-2,2),\;(2,1,-1)\}.]

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