Considere os conjuntos:
U=(x, y, z) ; x=z, V=(x, y, z) ; x=y=0 e W=(x, y, z) ; x+y+z=0
Os conjuntos listados acima sāo subespaços do R-espaço vetorial R^3 ? Justifique,

Passo 1

O enunciado nos dá três subconjuntos de R^3:
U=(x,y,z)mid x=z, V=(x,y,z)mid x=y=0, W=(x,y,z)mid x+y+z=0
Queremos verificar, para cada um, se satisfaz o critério de subespaço vetorial em R^3, que é:
1. 0=(0,0,0)in S.
2. Se u,vin S, então u+vin S.
3. Se uin S e alphainR, então alpha uin S.

Passo 2

Verificando U:
1. O vetor (0,0,0) satisfaz 0=0, logo 0in U.
2. Se u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2) estão em U, então x1=z1 e x2=z2. Assim
u+v=(x1+x2,,y1+y2,,z1+z2)
e (x1+x2)=(z1+z2), então u+vin U.
3. Para alphainR,
alpha u=(alpha x1,;alpha y1,;alpha z1)
e alpha x1=alpha z1, logo alpha uin U.
Portanto, U é subespaço.

Passo 3

Verificando V:
1. (0,0,0) tem 0=0=0, então 0in V.
2. Se u=(0,0,z1) e v=(0,0,z2) estão em V,
u+v=(0,0,z1+z2)in V
3. Para alphainR,
alpha u=(0,0,alpha z1)in V
Logo, V também é subespaço (`e o eixo z).

Passo 4

Verificando W:
1. (0,0,0) satisfaz 0+0+0=0, logo 0in W.
2. Se u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2) estão em W, então x1+y1+z1=0 e x2+y2+z2=0. Assim
(u+v)soma=(x1+x2)+(y1+y2)+(z1+z2)=0+0=0,
então u+vin W.
3. Para alphainR,
alpha(x1+y1+z1)=alphacdot0=0,
portanto alpha uin W.
Isso mostra que W é subespaço.

Resposta

U, V e W são todos subespaços do espaço vetorial R^3.

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