Sabemos que o conjunto dos polinomios de grau n com coefientes em R, o qual denotamos por Pn(R) é um espaço vetorial. Em particular, o conjunto P3(R) é um espaço vetorail. Considere o subconjunto S=1-x,(1-x)^2,(1-x)^3 do R-espaço vetorial P3(R).
Determine o conjunto [S];

Passo 1

O enunciado pede o subespaço gerado por
;S=,1 - x,,(1 - x)^2,,(1 - x)^3
no R-espaço vetorial P3(R).
O que precisamos usar é o conceito de combinação linear e o fato de que cada elemento de S é divisível por (1 - x).

Passo 2

Vamos escrever cada polinômio em S na base canônica 1,x,x^2,x^3:
1 - x,
(1 - x)^2 = 1 - 2x + x^2,
(1 - x)^3 = 1 - 3x + 3x^2 - x^3

Passo 3

Um elemento genérico de [S] é
alpha,(1 - x);+;beta,(1 - x)^2;+;gamma,(1 - x)^3,
com alpha,beta,gammainR.

Passo 4

Fatorando (1 - x) em todas as parcelas, obtemos
alpha,(1 - x)+beta,(1 - x)^2+gamma,(1 - x)^3 =(1 - x),l[alpha + beta,(1 - x) + gamma,(1 - x)^2r]
Como alpha + beta,(1 - x) + gamma,(1 - x)^2 é um polinômio de grau <=2, concluímos
[S]=(1 - x),q(x)mid q(x)inP2(R)

Passo 5

Uma outra descrição clássica é observar que um polinômio pinP3(R) satisfaz p(x)=(1-x),q(x) se, e somente se, p(1)=0. Logo,
[S]=,p(x)inP3(R)mid p(1)=0

Resposta

[S]=(1 - x),q(x)mid q(x)inP2(R) =p(x)inP3(R)mid p(1)=0

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