Vimos em sala que se Det(A) neq 0, então A é inversível e A^-1=1det(A)(A^prime)^T. Sabendo disso, considere um sistema de n equações e n incógnitas (quadrado) A x=B, onde
A=[ccc a11 & ldots & a1 n vdots & vdots & vdots an 1 & ldots & an n ], x=[c x1 vdots xn ], b=[c b1 vdots bn ]
Mostre que sumi=1^n bj barAi j é o determinante de uma matriz obtida de A trocando-se a coluna i pelo vetor b.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se formos à matriz A e substituir a sua coluna i pelo vetor b, o determinante dessa nova matriz é exatamente
sumj=1^n bj,bar Aij,
onde bar Aij é o cofator de aij. O conteúdo que vamos usar é a expansão de Laplace (teorema dos cofatores) ao longo de uma coluna.

Passo 2

Denotemos por A^(i) a matriz obtida a partir de A trocando-se a i-ésima coluna pelo vetor b. Em notação,
A^(i) = l[,a1,dots,ai-1,,b,,ai+1,dots,anr],
onde ak são as colunas originais de A.

Passo 3

Pelo teorema de Laplace, o determinante de A^(i) pode ser expandido ao longo da coluna i:
detl(A^(i)r) =sumj=1^n (entrada na linha j da coluna i)times(cofator em (j,i))
Como nessa nova matriz a entrada na linha j da coluna i é bj, e o cofator de posição (j,i) depende apenas do menor que remove a linha j e a coluna i, ele é igual ao cofator bar Aij da matriz original A.

Passo 4

Juntando as observações, obtemos
detl(A^(i)r) =sumj=1^n bj,bar Aij
Isso conclui que o somatório pedido é justamente o determinante da matriz que surge ao trocar a coluna i de A pelo vetor b.

Resposta

detl(A com a coluna i substituída por br) =sumj=1^n bj,bar Aij í

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