Vimos em sala que se , então é inversível e . Sabendo disso, considere um sistema de equações e incógnitas (quadrado) , onde
Mostre que sumi=1^n bj barAi j é o determinante de uma matriz obtida de A trocando-se a coluna i pelo vetor b.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se formos à matriz A e substituir a sua coluna i pelo vetor b, o determinante dessa nova matriz é exatamente
sumj=1^n bj,bar Aij,
onde bar Aij é o cofator de aij. O conteúdo que vamos usar é a expansão de Laplace (teorema dos cofatores) ao longo de uma coluna.
Passo 2
Denotemos por A^(i) a matriz obtida a partir de A trocando-se a i-ésima coluna pelo vetor b. Em notação,
A^(i) = l[,a1,dots,ai-1,,b,,ai+1,dots,anr],
onde ak são as colunas originais de A.
Passo 3
Pelo teorema de Laplace, o determinante de A^(i) pode ser expandido ao longo da coluna i:
detl(A^(i)r) =sumj=1^n (entrada na linha j da coluna i)times(cofator em (j,i))
Como nessa nova matriz a entrada na linha j da coluna i é bj, e o cofator de posição (j,i) depende apenas do menor que remove a linha j e a coluna i, ele é igual ao cofator bar Aij da matriz original A.
Passo 4
Juntando as observações, obtemos
detl(A^(i)r) =sumj=1^n bj,bar Aij
Isso conclui que o somatório pedido é justamente o determinante da matriz que surge ao trocar a coluna i de A pelo vetor b.
Resposta
detl(A com a coluna i substituída por br) =sumj=1^n bj,bar Aij í