Sabemos que o conjunto dos polinomios de grau n com coefientes em R, o qual denotamos por Pn(R) é um espaço vetorial. Em particular, o conjunto P3(R) é um espaço vetorail. Considere o subconjunto S=1-x,(1-x)^2,(1-x)^3 do R-espaço vetorial P3(R).
[S]=P3(R) ? Justifique.

Passo 1

O enunciado nos diz que P3(R) é o espaço vetorial dos polinômios de grau no máximo 3, cujo diml(P3(R)r)=4. Queremos saber se o subconjunto
S=,1-x,,(1-x)^2,,(1-x)^3
gera todo esse espaço, ou seja, se [S]=P3(R). Para isso vamos usar o conceito de dimensão e de conjunto gerador.

Passo 2

Em um espaço vetorial de dimensão 4, qualquer conjunto gerador deve ter pelo menos 4 vetores. Aqui lvert Srvert=3, logo
diml(span(S)r)<=3 <4=diml(P3(R)r)
Assim, por contagem de dimensão, S não pode gerar P3(R).

Passo 3

Para dar um exemplo concreto, tentemos escrever o polinômio
ao agrupar termos obtemos o sistema para os coeficientes de :
Da última equação vem . Em seguida, de vem . Mas então , o que contradiz a primeira equação. Logo não existe solução e .

Resposta

Não. O conjunto S tem apenas 3 vetores num espaço de dimensão 4, então não gera P3(R). Além disso, por exemplo, x^3 não pode ser expresso como combinação linear de 1-x, (1-x)^2 e (1-x)^3.

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