Sabemos que o conjunto dos polinomios de grau com coefientes em , o qual denotamos por é um espaço vetorial. Em particular, o conjunto é um espaço vetorail. Considere o subconjunto do -espaço vetorial . ? Justifique.
Passo 1
O enunciado nos diz que é o espaço vetorial dos polinômios de grau no máximo 3, cujo . Queremos saber se o subconjunto
gera todo esse espaço, ou seja, se . Para isso vamos usar o conceito de dimensão e de conjunto gerador.
Passo 2
Em um espaço vetorial de dimensão 4, qualquer conjunto gerador deve ter pelo menos 4 vetores. Aqui , logo
Assim, por contagem de dimensão, não pode gerar .
Passo 3
Para dar um exemplo concreto, tentemos escrever o polinômio
ao agrupar termos obtemos o sistema para os coeficientes de :
Da última equação vem dá . Em seguida, de vem . Mas então , o que contradiz a primeira equação. Logo não existe solução e .
Resposta
Não. O conjunto S tem apenas 3 vetores num espaço de dimensão 4, então não gera P3(R). Além disso, por exemplo, x^3 não pode ser expresso como combinação linear de 1-x, (1-x)^2 e (1-x)^3.