Considere os conjuntos:
Considerando as operaçōes de adição e multiplicaçāo por um escalar de maneira usual. O conjunto
juntamente com essas operações é um espaço vetorial? Justifique.
Passo 1
O enunciado quer saber se
é um espaço vetorial sobre
com as operações usuais. Para isso, basta ver se
(visto como subconjunto de
) satisfaz três propriedades básicas de subespaço vetorial:
. contém o vetor nulo;
. é fechado sob soma;
. é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificando as três condições:
– O vetor nulo em é
, mas
– O vetor nulo em
logo
.
– Mesmo que quiséssemos, tomar e
dá
– Mesmo que quiséssemos, tomar
e
portanto a soma não fica em
.
– E para escalar e vetor
temos
– E para escalar
com
então
também não é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Não,
não é um espaço vetorial, pois não contém o vetor nulo e falha em ser fechado sob soma e multiplicação por escalar.