Considere os conjuntos:
l F(A, R)=f: A longrightarrow R ; f é uma funçāo , S=(x, y) in R^2 ; x^2+y^2=1 e P(R)=p(x)=a0+a1 x+a2 x^2+cdots+an x^n ; ai in R e n >= 0 éçā
Considerando as operaçōes de adição e multiplicaçāo por um escalar de maneira usual. O conjunto S juntamente com essas operações é um espaço vetorial? Justifique.

Passo 1

O enunciado quer saber se
S=(x,y)inR^2 mid x^2+y^2=1
é um espaço vetorial sobre R com as operações usuais. Para isso, basta ver se S (visto como subconjunto de R^2) satisfaz três propriedades básicas de subespaço vetorial:
1. contém o vetor nulo;
2. é fechado sob soma;
3. é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificando as três condições:
– O vetor nulo em R^2 é (0,0), mas
0^2+0^2=0neq1,
logo (0,0)notin S.
– Mesmo que quiséssemos, tomar (1,0)in S e (0,1)in S
(1,0)+(0,1)=(1,1),
e
1^2+1^2=2neq1,
portanto a soma não fica em S.
– E para escalar 2 e vetor (1,0)in S temos
2cdot(1,0)=(2,0),
com
2^2+0^2=4neq1,
então S também não é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Não, S não é um espaço vetorial, pois não contém o vetor nulo e falha em ser fechado sob soma e multiplicação por escalar.

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