Considere os conjuntos:
Defina em
as operaçôes de adição e multiplicação por um escalar da seguinte forma:
i) Para quaisquer
e
elementos de
, com
,
ii) Para qualquer
e qualquer
,
O conjunto
juntamente com as operaçōes de adiçāo e multiplicaçāo definidas acima é um espaço vetorial? Justifique.
i) Para quaisquer
Passo 1
Resumo do enunciado: temos
é o conjunto de todos os polinômios reais
com as operações
– soma: coeficientes somados índice a índice (coeficientes “faltantes” são zeros),
– escalar
: cada coeficiente é multiplicado pelo escalar.
Conteúdo: teoria de espaço vetorial sobre . Para mostrar que
é um espaço vetorial, precisamos verificar os dez axiomas de espaço vetorial (fechamento, associatividade, comutatividade, elemento neutro, inverso aditivo, distributividades, unidade escalar e compatibilidade de escalares).
– soma: coeficientes somados índice a índice (coeficientes “faltantes” são zeros),
– escalar
Conteúdo: teoria de espaço vetorial sobre
Passo 2
Fechamento sob soma e multiplicação por escalar
– Se e
são polinômios em
, então
é novamente um polinômio cujos coeficientes são
. Logo
.
– Se e
, então
tem coeficientes
, logo
.
– Se
– Se
Passo 3
Associatividade e comutatividade da soma
– Comutatividade: pois
em
.
– Associatividade: pois soma de reais é associativa índice a índice.
– Comutatividade:
– Associatividade:
Passo 4
Existência do elemento neutro e do inverso aditivo
– Neutro aditivo: o polinômio satisfaz
.
– Inverso aditivo: para , o inverso é
, pois
.
– Neutro aditivo: o polinômio
– Inverso aditivo: para
Passo 5
Distributividades, unidade escalar e compatibilidade de escalares
– porque
.
– pois
.
– pois
.
– Unidade escalar: pois
.
–
–
–
– Unidade escalar:
Resposta
Sim. O conjunto
com as operações dadas satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre
.