Considere os conjuntos:
l F(A, R)=f: A longrightarrow R ; f é uma funçāo , S=(x, y) in R^2 ; x^2+y^2=1 e P(R)=p(x)=a0+a1 x+a2 x^2+cdots+an x^n ; ai in R e n >= 0 éçā
Defina em P(R) as operaçôes de adição e multiplicação por um escalar da seguinte forma:
i) Para quaisquer p(x)=a0+a1 x+a2 x^2+cdots+an x^n e g(x)=b0+b1 x+b2 x^2+cdots+bm x^m elementos de P(R), com n <= m,
p(x)+g(x)=(a0 b0)+(a1+b1) x+(a2+b2) x^2+cdots+(an+bn) x^n+(0+bn+1) x^n+1+cdots+bm x^m
ii) Para qualquer p(x)=a0+a1 x+a2 x^2+cdots+an x^n in P(R) e qualquer alpha in R,
alpha cdot p(x)=alpha a0+alpha a1 x+alpha a2 x^2+cdots+alpha an x^n
O conjunto P(R) juntamente com as operaçōes de adiçāo e multiplicaçāo definidas acima é um espaço vetorial? Justifique.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos
P(R) é o conjunto de todos os polinômios reais
p(x)=a0+a1x+cdots+anx^n,
com as operações
– soma: coeficientes somados índice a índice (coeficientes “faltantes” são zeros),
– escalar cdot p(x): cada coeficiente é multiplicado pelo escalar.
Conteúdo: teoria de espaço vetorial sobre R. Para mostrar que P(R) é um espaço vetorial, precisamos verificar os dez axiomas de espaço vetorial (fechamento, associatividade, comutatividade, elemento neutro, inverso aditivo, distributividades, unidade escalar e compatibilidade de escalares).

Passo 2

Fechamento sob soma e multiplicação por escalar
– Se p(x) e g(x) são polinômios em P(R), então p(x)+g(x) é novamente um polinômio cujos coeficientes são
l(ai+bir)inR. Logo p+ginP(R).
– Se alphainR e p(x)inP(R), então alphacdot p(x) tem coeficientes alpha aiinR, logo alpha pinP(R).

Passo 3

Associatividade e comutatividade da soma
– Comutatividade: p(x)+g(x)=g(x)+p(x) pois ai+bi=bi+ai em R.
– Associatividade: l(p(x)+g(x)r)+h(x)=p(x)+l(g(x)+h(x)r) pois soma de reais é associativa índice a índice.

Passo 4

Existência do elemento neutro e do inverso aditivo
– Neutro aditivo: o polinômio 0(x)=0+0x+cdots+0x^n satisfaz
p(x)+0(x)=p(x).
– Inverso aditivo: para p(x)=sumi=0^n ai x^i, o inverso é -p(x)=sumi=0^n(-ai)x^i, pois
p(x)+l(-p(x)r)=0(x).

Passo 5

Distributividades, unidade escalar e compatibilidade de escalares
alphal(p(x)+g(x)r)=alpha p(x)+alpha g(x) porque alpha(ai+bi)=alpha ai+alpha bi.
l(alpha+betar)p(x)=alpha p(x)+beta p(x) pois (alpha+beta)ai=alpha ai+beta ai.
l(alphabetar)p(x)=alphal(beta p(x)r) pois (alphabeta)ai=alpha(beta ai).
– Unidade escalar: 1cdot p(x)=p(x) pois 1cdot ai=ai.

Resposta

Sim. O conjunto P(R) com as operações dadas satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre R.

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