Considere os conjuntos:
l F(A, R)=f: A longrightarrow R ; f é uma funçāo , S=(x, y) in R^2 ; x^2+y^2=1 e P(R)=p(x)=a0+a1 x+a2 x^2+cdots+an x^n ; ai in R e n >= 0 éçā
Defina em F(A, R) as operaçōes de adiçāo e multiplicação por um escalar da seguinte forma:
i) Para quaisquer f, g in F(A, R),(f+g)(x)=f(x)+g(x), para cada x in A
ii) Para qualquer f in F(A, R) e qualquer alpha in R,(alpha f)(x)=alpha f(x), para cada x in A.
O conjunto F(A, R) juntamente com as operações de adição e multiplicação definidas acima é um espaço vetorial? Justifique.

Passo 1

Estamos com o conjunto
F(A,R)=f:AtoR
e definimos, para todo xinA,
(f+g)(x)=f(x)+g(x), (alpha f)(x)=alpha,f(x)
Queremos mostrar que, com essas operações, F(A,R) é um espaço vetorial sobre R. Para isso, precisamos verificar que
  1. (F(A,R),+) é um grupo abeliano;
  2. a multiplicação por escalar satisfaz as propriedades de fechamento, distributividade, associatividade e elemento neutro.

Passo 2

(Propriedades do grupo abeliano em (F(A,R),+))
  1. Fechamento: se f,ginF(A,R), então f+g está em F(A,R) porque f(x)+g(x)inR para todo x.
  2. Associatividade: para f,g,hinF(A,R),
((f+g)+h)(x) =f(x)+g(x)+h(x) =(f+(g+h))(x)
  1. Comutatividade: (f+g)(x)=f(x)+g(x)=g(x)+f(x)=(g+f)(x).
  2. Elemento neutro: a função zero 0 definida por 0(x)=0 para todo x satisfaz (f+0)(x)=f(x).
  3. Inverso aditivo: para cada f definimos (-f)(x)=-f(x), e então (f+(-f))(x)=0.

Passo 3

(Propriedades da multiplicação por escalar)
  1. Fechamento: se alphainR e finF(A,R), então alpha finF(A,R).
  2. Distributividade em relação à soma de funções:
l(alpha,(f+g)r)(x) =alphal(f(x)+g(x)r) =alpha f(x)+alpha g(x) =l(alpha f+alpha gr)(x)
  1. Distributividade em relação à soma de escalares:
l((alpha+beta)fr)(x) =(alpha+beta),f(x) =alpha f(x)+beta f(x) =l(alpha f+beta fr)(x)
  1. Compatibilidade de escalares:
l((alphabeta)fr)(x) =(alphabeta),f(x) =alphal(beta f(x)r) =l(alpha(beta f))r)(x)
  1. Escalar identidade:
(1cdot f)(x)=1cdot f(x)=f(x)

Passo 4

Reunindo tudo, verificamos que (F(A,R),+) é um grupo abeliano e que a multiplicação por escalar satisfaz todas as propriedades exigidas de um espaço vetorial sobre R.

Resposta

Sim. F(A,R), com a adição e multiplicação por escalar definidas ponto a ponto, é um espaço vetorial sobre R.

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