Considere os conjuntos:
Defina em
as operaçōes de adiçāo e multiplicação por um escalar da seguinte forma:
i) Para quaisquer
, para cada
ii) Para qualquer
e qualquer
, para cada
.
O conjunto
juntamente com as operações de adição e multiplicação definidas acima é um espaço vetorial? Justifique.
i) Para quaisquer
ii) Para qualquer
O conjunto
Passo 1
Estamos com o conjunto
e definimos, para todo ,
e definimos, para todo
Queremos mostrar que, com essas operações,
é um espaço vetorial sobre
. Para isso, precisamos verificar que
-
é um grupo abeliano; - a multiplicação por escalar satisfaz as propriedades de fechamento, distributividade, associatividade e elemento neutro.
Passo 2
(Propriedades do grupo abeliano em
)
- Fechamento: se
, então está em porque para todo . - Associatividade: para
,
- Comutatividade:
. - Elemento neutro: a função zero
definida por para todo satisfaz . - Inverso aditivo: para cada
definimos , e então .
Passo 3
(Propriedades da multiplicação por escalar)
- Fechamento: se
e , então . - Distributividade em relação à soma de funções:
- Distributividade em relação à soma de escalares:
- Compatibilidade de escalares:
- Escalar identidade:
Passo 4
Reunindo tudo, verificamos que
é um grupo abeliano e que a multiplicação por escalar satisfaz todas as propriedades exigidas de um espaço vetorial sobre
.
Resposta
Sim.
, com a adição e multiplicação por escalar definidas ponto a ponto, é um espaço vetorial sobre
.