Seja S=(2,1,1,0),(1,0,1,2),(0,-1,1,4) e V=mid S].
a) Determine a dimensão do R - espaço vetorial V;

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^4,
v1 = (2,1,1,0), v2 = (1,0,1,2), v3 = (0,-1,1,4),
e define o subespaço V = lang<= v1,v2,v3rang<=. Precisamos encontrar dim V, ou seja, quantos desses vetores são linearmente independentes.

Passo 2

Para testar independência, considere a combinação linear nula
a,v1 + b,v2 + c,v3 = (0,0,0,0)
Escrevendo coordenada a coordenada, obtemos o sistema
2a + b + 0c = 0, a + 0b - c = 0, a + b + c = 0, 0a + 2b + 4c = 0

Passo 3

Da segunda equação segue
a - c = 0Longrightarrow a = c
Da quarta equação segue
2b + 4c = 0Longrightarrow b = -2c
Substituindo a=c e b=-2c nas equações 1ª e 3ª, checamos que elas são automaticamente satisfeitas. Logo existe uma variável livre ( c), isto é, há uma relação de dependência não-trivial entre v1,v2,v3.

Passo 4

Como dos três vetores há exatamente uma relação de dependência não-trivial, o número de vetores independentes é 3-1=2. Portanto,
dim V = 2.

Resposta

dim V = 2

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