Moste que dada por é um automorfismo e calcule o automorfismo inverso.
Passo 1
O enunciado define a aplicação
e pede para mostrar que é um automorfismo (i.e.\ é linear e bijetiva) e em seguida calcular . Para isso vamos usar: . Verificar linearidade diretamente ou via matriz em relação à base canônica. . Checar que o determinante dessa matriz é não nulo (logo invertível). . Resolver o sistema para exibir explicitamente .
Passo 2
Mostramos que é linear observando que ela preserva soma e produto por escalar:
Ou, equivalentemente, vendo sua matriz na base canônica:
cuja ação é T(x,y,z)=A,(x,y,z)^T.
Passo 3
Calculamos o determinante de A para verificar invertibilidade: