Moste que T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(x+y, x-z, y) é um automorfismo e calcule o automorfismo inverso.

Passo 1

O enunciado define a aplicação
Tcolon R^3toR^3, T(x,y,z)=(x+y,;x-z,;y),
e pede para mostrar que T é um automorfismo (i.e.\ é linear e bijetiva) e em seguida calcular T^-1. Para isso vamos usar:
1. Verificar linearidade diretamente ou via matriz em relação à base canônica.
2. Checar que o determinante dessa matriz é não nulo (logo invertível).
3. Resolver o sistema T(x,y,z)=(u,v,w) para exibir explicitamente T^-1(u,v,w).

Passo 2

Mostramos que T é linear observando que ela preserva soma e produto por escalar:
Tl((x,y,z)+(x',y',z')r) =T(x+x',y+y',z+z') =(x+x'+y+y',;x+x'-(z+z'),;y+y')
=T(x,y,z)+T(x',y',z'), Tl(c,(x,y,z)r)=c,T(x,y,z)
Ou, equivalentemente, vendo sua matriz na base canônica:
A= 1 & 1 & 0 1 & 0 & -1 0 & 1 & 0 ,
cuja ação é T(x,y,z)=A,(x,y,z)^T.

Passo 3

Calculamos o determinante de A para verificar invertibilidade:
det(A) =1cdotdet0 & -11 & 0 -1cdotdet1 & -10 & 0 +0cdotl(dotsr) =1cdot(0-(-1))-1cdot0 =1neq0
Como det(A)neq0, A é invertível e, portanto, T é um automorfismo de R^3.

Passo 4

Para achar T^-1, escrevemos
(u,v,w)=T(x,y,z)=(x+y,;x-z,;y)
e resolvemos em função de (u,v,w). Da terceira coordenada vem
y=w
Da primeira,
u=x+y;Longrightarrow;x=u-y=u-w
Da segunda,
v=x-z;Longrightarrow;z=x-v=(u-w)-v=u-v-w
Logo, para todo (u,v,w)inR^3,
T^-1(u,v,w) =(,u-w,;w,;u-v-w,)

Resposta

T^-1colon R^3toR^3, T^-1(x,y,z)=(,x-z,;z,;x-y-z,)

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