Moste que dada por é um automorfismo e le o automorfismo inverso.
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
O objetivo é mostrar que é um automorfismo (ou seja, é linear e bijetora) e determinar a sua inversa . Para isso, vamos apresentar a matriz associada, verificar que o determinante é não-nulo e, em seguida, resolver o sistema para obter .
Passo 2
Primeiro notamos que é linear, pois para quaisquer vetores , e escalar vale
que é igual a , e
Logo, é de fato uma transformação linear.
Passo 3
Na base canônica, a matriz de é
porque
Passo 4
Calculamos o determinante de A:
det A = 1cdotdet0 & -11 & 0 -1cdotdet1 & -10 & 0 +0cdotcdots =1cdot(0cdot0-(-1)cdot1)-1cdot0 =1
Como det A=1neq0, A é inversível e, portanto, T é um automorfismo de R^3.
Passo 5
Para achar
Da terceira equação vem obtemos . Em seguida, de segue
Passo 6
Portanto, a inversa T^-1:R^3toR^3 é dada por
T^-1(u,v,w) = l(u - w,;w,;u - v - wr)
Resposta
T é um automorfismo de R^3 porque sua matriz tem determinante det A=1neq0.
O automorfismo inverso é