Moste que T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(x+y, x-z, y) é um automorfismo e le o automorfismo inverso.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T:R^3toR^3, T(x,y,z) = (,x+y,;x-z,;y,)
O objetivo é mostrar que T é um automorfismo (ou seja, é linear e bijetora) e determinar a sua inversa T^-1. Para isso, vamos apresentar a matriz associada, verificar que o determinante é não-nulo e, em seguida, resolver o sistema para obter T^-1.

Passo 2

Primeiro notamos que T é linear, pois para quaisquer vetores u=(x1,y1,z1), v=(x2,y2,z2) e escalar lambda vale
T(u+v) = T(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2) = (x1+x2+y1+y2,;dots),
que é igual a T(u)+T(v), e
T(lambda u) = (lambda x1+lambda y1,;lambda x1-lambda z1,;lambda y1) = lambda,T(u)
Logo, T é de fato uma transformação linear.

Passo 3

Na base canônica, a matriz de é
porque

Passo 4

Calculamos o determinante de A:
det A = 1cdotdet0 & -11 & 0 -1cdotdet1 & -10 & 0 +0cdotcdots =1cdot(0cdot0-(-1)cdot1)-1cdot0 =1
Como det A=1neq0, A é inversível e, portanto, T é um automorfismo de R^3.

Passo 5

Para achar
Da terceira equação vem obtemos . Em seguida, de segue

Passo 6

Portanto, a inversa T^-1:R^3toR^3 é dada por
T^-1(u,v,w) = l(u - w,;w,;u - v - wr)

Resposta

T é um automorfismo de R^3 porque sua matriz tem determinante det A=1neq0.
O automorfismo inverso é
T^-1(x,y,z) = l(x - z,;z,;x - y - zr)

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