Sejam S, T in L(R^3) tais que S(x, y, z)=(x, 2 y, y-z) e
[2 S-T]B=[lll 1 & 1 & 0 0 & 1 & 0 1 & 2 & 1 ]
sendo B a a = base canônica do R^3. Determine [T]B e a expressão de T.

Passo 1

O enunciado dá S,TinL(R^3) com
S(x,y,z)=(x,2y,y-z)
e informa que, na base canônica B,
[,2S - T,]B = 1&1&0 0&1&0 1&2&1
Queremos achar [T]B e a fórmula de T. Vamos usar matrizes de transformações lineares em base canônica e a relação
[,2S - T,]B=2,[S]B-[T]B

Passo 2

Primeiro, montamos a matriz de S na base canônica. Para isso, aplicamos S em cada vetor da base:
S(e1)=S(1,0,0)=(1,0,0), S(e2)=S(0,1,0)=(0,2,1), S(e3)=S(0,0,1)=(0,0,-1)
Portanto
[S]B = 1&0&0 0&2&0 0&1&-1

Passo 3

A relação dada é
[,2S - T,]B =2,[S]B-[T]B = 1&1&0 0&1&0 1&2&1
Isolando [T]B, vem
[T]B =2,[S]B - 1&1&0 0&1&0 1&2&1

Passo 4

Calculemos 2,[S]B e depois subtraiamos:
2,[S]B =2 1&0&0 0&2&0 0&1&-1 = 2&0&0 0&4&0 0&2&-2
Logo
[T]B = 2&0&0 0&4&0 0&2&-2 - 1&1&0 0&1&0 1&2&1 = 1&-1&0 0&3&0 -1&0&-3

Passo 5

Para obter a ação de , multiplicamos pelo vetor :

Resposta

[T]B = 1&-1&0 0&3&0 -1&0&-3 , T(x,y,z)=(x - y,;3y,;-x -3z)

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