Considere os conjuntos
\mathcal{A}=\{[1,1,1],[1,1,0],[1,0,0]\} e \mathcal{B}=\{[1,3],[2,5]\}.
Muitas vezes, uma Transformação Linear (TL) é dada da seguinte forma
T(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, z)=(\underbrace{3 x+2 y-4 z}{\boldsymbol{s}}, \underbrace{x-5 y+3 z}{\boldsymbol{t}})
Trata-se de uma TL de \mathbb{R}^{3} em \mathbb{R}^{2}. Por que? Simplesmente porque T está pronta para receber três variáveis ( \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, z ) e responde com duas, ( \boldsymbol{s}, \boldsymbol{t} ), depois que substituimos valores. Nesse exemplo, \mathbb{R}^{3} é o domínio da TL e \mathbb{R}^{2} é o contra-domínio da TL.
Por exemplo: se x=1, y=-3 e z=2, então
s=3(1)+2(-3)-4(2)=3-6-8=-11 \quad \text { e } \quad \boldsymbol{t}=1-5(-3)+3(2)=1+15+6=22
ou seja, T leva o vetor [1,-3,2] de \mathbb{R}^{3} no vetor [-11,22] de \mathbb{R}^{2}.
Agora, considere os conjuntos \mathcal{A}=\{[1,1,1],[1,1,0],[1,0,0]\} e \mathcal{B}=\{[1,3],[2,5]\}.
Mostre que \mathcal{A} e \mathcal{B} são bases de \mathbb{R}^{3} e \mathbb{R}^{2} respectivamente.

Passo 1

O enunciado dá dois conjuntos \mathcal{A} = \{[1,1,1],\,[1,1,0],\,[1,0,0]\}\subset\mathbb{R}^3
e \mathcal{B} = \{[1,3],\,[2,5]\}\subset\mathbb{R}^2,
e pede para mostrar que cada um é uma base de seu respectivo espaço. Para isso, lembramos que uma base de \mathbb{R}^n é um conjunto de n vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^n.

Passo 2

Vamos testar a independência linear de \mathcal{A} montando a matriz cujas linhas (ou colunas) são esses vetores e calculando o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes.

Passo 3

Considere a matriz
M_{\mathcal{A}} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
O determinante é
\det(M_{\mathcal{A}}) =1\cdot(1\cdot0 - 0\cdot0) -1\cdot(1\cdot0 - 0\cdot1) +1\cdot(1\cdot0 - 1\cdot1) =0 - 0 + (0 - 1) =-1\neq0.
Como \det(M_{\mathcal{A}})\neq0, os três vetores são linearmente independentes em \mathbb{R}^3. Como há exatamente três vetores, igual à dimensão de \mathbb{R}^3, eles geram todo o espaço. Logo, \mathcal{A} é base de \mathbb{R}^3.

Passo 4

Agora façamos o mesmo para \mathcal{B}. Tomamos a matriz
M_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 1 & 3\\\\ 2 & 5 \end{pmatrix}
e calculamos
\det(M_{\mathcal{B}}) =1\cdot5 - 3\cdot2 =5 - 6 =-1\neq0.
Isso mostra que os dois vetores de \mathcal{B} são linearmente independentes em \mathbb{R}^2. Como são dois vetores e \dim\mathbb{R}^2=2, eles também geram todo o espaço, logo \mathcal{B} é base de \mathbb{R}^2.

Resposta

\mathcal{A} e \mathcal{B} são bases de \mathbb{R}^3 e \mathbb{R}^2, respectivamente, pois cada conjunto tem exatamente \dim do espaço e seus determinantes são não nulos.

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