Dois universitários, Alberto e Breno, moram na mesma cidade e estão em pontos diferentes, (A) e (B) respectivamente. A distância entre eles é de (2,1 \mathrm{Km}). Está chovendo, e eles estão conversando pelo celular quando um deles ouve um trovão forte. Depois de alguns segundos o outro também ouve o trovão. Alberto diz a Breno que irá desenhar no mapa da cidade uma curva mostrando onde o raio pode ter caído. Usando a velocidade do som, Alberto conclui que o ponto § onde o raio caiu tem que satisfazer a seguinte propriedade (|d(P, A)-d(P, B)|=1,3 \mathrm{Km}). Breno sugere que Alberto use um sistema de coordenadas usando 1 Km como unidade e com a origem exatamente no ponto médio entre (A) e (B) de modo que (A) fique numa coordenada positiva do eixo (x).
Alguns minutos depois, Alberto recebe uma notícia dizendo que o raio danificou a linha de trem que passa próximo deles. Olhando no mapa, Breno estima que a linha situa-se praticamente na reta (y=2). Breno diz que consegue descobrir a primeira coordenada do ponto § onde o raio caiu pois sabe que Alberto ouviu o trovão primeiro.
Qual é o valor da primeira coordenada do ponto § ?
Passo 1
O enunciado coloca dois pontos A e B separados por 2,1,km e define um sistema de coordenadas com origem no ponto médio de AB, de modo que
A=(1,05,0),\quad B=(-1,05,0)
em unidades de 1 km. O raio caiu em um ponto P=(x,y) tal que
\bigl|d(P,A)-d(P,B)\bigr|=1,3\text{ km}.
Como Alberto ouviu o trovão primeiro, P fica mais perto de A, ou seja,
d(P,B)-d(P,A)=1,3.
Isso define uma hipérbole com focos em A e B. Queremos a abscissa de P na interseção dessa hipérbole com a reta da linha de trem y=2.
Passo 2
Na hipérbole a diferença das distâncias aos focos vale 2a. Aqui
2a=1,3\quad\Longrightarrow\quad a=0,65
e a distância focal é
2c=2{,}1\quad\Longrightarrow\quad c=1{,}05.
Passo 3
Calculamos
b^2=c^2-a^2=(1,05)^2-(0,65)^2=1,1025-0,4225=0,68.
Passo 4
A equação cartesiana da hipérbole, de centro na origem e eixo transverso em x, é