Instruções: Em respostas numéricas, digite um número em representação decimal, truncando se necessário na segunda casa após a vírgula.
Sobre uma hipérbole \mathcal{H}, sabe-se que:
  • o centro tem coordenadas (2,5)
  • a distância focal é 8
  • o eixo transverso (eixo real) é paralelo ao eixo O y e mede 4
Considere F sendo o foco de \mathcal{H} que está mais próximo da origem, e V sendo o vértice de \mathcal{H} mais distante de F. Complete:
(a) F=( \square , \square )
(b) V=( \square , \square )
(c) O eixo conjugado (eixo imaginário) mede \square
(d) Se x^{2}+B x y+C y^{2}+D x+E y+F=0 é uma equação para \mathcal{H}, então:
C=\square, \quad D=\square

Passo 1

O enunciado diz que temos uma hipérbole com centro em (2,5), distância focal 2c=8 e eixo transverso vertical de comprimento 2a=4. Isso indica uma hipérbole do tipo
\frac{(y-5)^2}{a^2}-\frac{(x-2)^2}{b^2}=1.

Passo 2

Como 2a=4, temos a=2. E como 2c=8, segue c=4. O parâmetro b satisfaz c^2=a^2+b^2, então
b^2=c^2-a^2=4^2-2^2=16-4=12.

Passo 3

Os focos estão em (2,5\pm c)=(2,5\pm4), ou seja, (2,1) e (2,9). O foco mais próximo da origem é
F=(2,1).

Passo 4

Os vértices estão em (2,5\pm a)=(2,5\pm2), isto é, (2,3) e (2,7). Aquele mais distante do foco F=(2,1) é
V=(2,7).

Passo 5

O eixo conjugado tem comprimento 2b. Como b=\sqrt{12}\approx3,464, temos
2b\approx6,928,
que truncado na segunda casa após a vírgula é 6,92.

Passo 6

Para obter a forma geral, partimos de
\frac{(y-5)^2}{4}-\frac{(x-2)^2}{12}=1
e multiplicamos por 12:
3(y-5)^2-(x-2)^2=12.
Expandindo:
3(y^2-10y+25)-(x^2-4x+4)=12
3y^2-30y+75 -x^2+4x-4=12
-x^2+3y^2+4x-30y+59=0.
Multiplicando por -1 para ficar na forma x^2+Bx y+Cy^2+Dx+Ey+F=0:
x^2 -3y^2 -4x +30y -59=0.
Daí C=-3 e D=-4.

Resposta

(a) F=(2,1)
(b) V=(2,7)
(c) 6,92
(d) C=-3,\;D=-4

Exercícios relacionados