Considere os conjuntos
\mathcal{A}=\{[1,1,1],[1,1,0],[1,0,0]\} e \mathcal{B}=\{[1,3],[2,5]\}.
Muitas vezes, uma Transformação Linear (TL) é dada da seguinte forma
T(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, z)=(\underbrace{3 x+2 y-4 z}{\boldsymbol{s}}, \underbrace{x-5 y+3 z}{\boldsymbol{t}})
Trata-se de uma TL de \mathbb{R}^{3} em \mathbb{R}^{2}. Por que? Simplesmente porque T está pronta para receber três variáveis ( \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, z ) e responde com duas, ( \boldsymbol{s}, \boldsymbol{t} ), depois que substituimos valores. Nesse exemplo, \mathbb{R}^{3} é o domínio da TL e \mathbb{R}^{2} é o contra-domínio da TL.
Por exemplo: se x=1, y=-3 e z=2, então
s=3(1)+2(-3)-4(2)=3-6-8=-11 \quad \text { e } \quad \boldsymbol{t}=1-5(-3)+3(2)=1+15+6=22
ou seja, T leva o vetor [1,-3,2] de \mathbb{R}^{3} no vetor [-11,22] de \mathbb{R}^{2}.
Agora, considere os conjuntos \mathcal{A}=\{[1,1,1],[1,1,0],[1,0,0]\} e \mathcal{B}=\{[1,3],[2,5]\}.
Escreva as coordenadas de T(u) na base \mathcal{B}.

Passo 1

O enunciado nos dá uma transformação linear
T(x,y,z) = (\,s,t\,) \quad\text{com}\quad s = 3x + 2y - 4z, \quad t = x - 5y + 3z
de \mathbb{R}^3 em \mathbb{R}^2.
Queremos encontrar as coordenadas de T(u) na base \mathcal{B} = \{\,[1,3],\,[2,5]\,\}
quando u varia pelos vetores da base \mathcal{A} = \{\,[1,1,1],\,[1,1,0],\,[1,0,0]\,\}.
Ou seja, para cada u_i\in\mathcal{A} calculamos T(u_i) e escrevemos
T(u_i) = c_i\,[1,3] + d_i\,[2,5],
e então [T(u_i)]_{\mathcal{B}} = (c_i,d_i).

Passo 2

Calcular T\) em \(u_1 = [1,1,1]\): \[s = 3\cdot1 + 2\cdot1 - 4\cdot1 = 3 + 2 - 4 = 1, \quad t = 1 - 5\cdot1 + 3\cdot1 = 1 - 5 + 3 = -1.
Logo T(u_1) = [1,-1]. Procuramos c,d tais que
[1,-1] = c\,[1,3] + d\,[2,5] = [\,c+2d,\;3c+5d\,].
Igualando coordenadas:
\begin{cases} c + 2d = 1,\\\\ 3c + 5d = -1. \end{cases}
Da primeira (c = 1 - 2d]. Substituindo na segunda:
3(1-2d) + 5d = -1 \;\Longrightarrow\; 3 -6d +5d = -1 \;\Longrightarrow\; -d = -4 \;\Longrightarrow\; d = 4,
c = 1 - 2\cdot4 = -7.
Então
[T(u_1)]_{\mathcal{B}} = (-7,\;4).

Passo 3

Calcular T\) em \(u_2 = [1,1,0]\): \[s = 3\cdot1 + 2\cdot1 - 4\cdot0 = 5, \quad t = 1 - 5\cdot1 + 3\cdot0 = -4.
Logo T(u_2) = [5,-4]. Buscamos c,d tais que
[5,-4] = [\,c+2d,\;3c+5d\,].
\begin{cases} c + 2d = 5,\\\\ 3c + 5d = -4. \end{cases}
Da primeira (c = 5 - 2d]. Substituindo:
3(5-2d) +5d = -4 \;\Longrightarrow\; 15 -6d +5d = -4 \;\Longrightarrow\; -d = -19 \;\Longrightarrow\; d = 19,
c = 5 - 2\cdot19 = -33.
Então
[T(u_2)]_{\mathcal{B}} = (-33,\;19).

Passo 4

Calcular T\) em \(u_3 = [1,0,0]\): \[s = 3\cdot1 + 2\cdot0 - 4\cdot0 = 3, \quad t = 1 - 5\cdot0 + 3\cdot0 = 1.
Logo T(u_3) = [3,1]. Procuramos c,d tais que
[3,1] = [\,c+2d,\;3c+5d\,].
\begin{cases} c + 2d = 3,\\\\ 3c + 5d = 1. \end{cases}
Da primeira (c = 3 - 2d]. Substituindo:
3(3-2d) +5d = 1 \;\Longrightarrow\; 9 -6d +5d = 1 \;\Longrightarrow\; -d = -8 \;\Longrightarrow\; d = 8,
c = 3 - 2\cdot8 = -13.
Então
[T(u_3)]_{\mathcal{B}} = (-13,\;8).

Resposta

As coordenadas de T(u) na base \mathcal{B}, para u variando pela base \mathcal{A}, são:
[T(1,1,1)]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix}-7\\\ 4\end{pmatrix}, \quad [T(1,1,0)]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix}-33\\\ 19\end{pmatrix}, \quad [T(1,0,0)]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix}-13\\\ 8\end{pmatrix}.

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