Considere os conjuntos \mathcal{A}=\{[1,1,1],[1,1,0],[1,0,0]\} e \mathcal{B}=\{[1,3],[2,5]\}.
Muitas vezes, uma Transformação Linear (TL) é dada da seguinte forma
Trata-se de uma TL de \mathbb{R}^{3} em \mathbb{R}^{2}. Por que? Simplesmente porque T está pronta para receber três variáveis ( \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, z ) e responde com duas, ( \boldsymbol{s}, \boldsymbol{t} ), depois que substituimos valores. Nesse exemplo, \mathbb{R}^{3} é o domínio da TL e \mathbb{R}^{2} é o contra-domínio da TL.
Por exemplo: se x=1, y=-3 e z=2, então
s=3(1)+2(-3)-4(2)=3-6-8=-11 \quad \text { e } \quad \boldsymbol{t}=1-5(-3)+3(2)=1+15+6=22
ou seja, T leva o vetor [1,-3,2] de \mathbb{R}^{3} no vetor [-11,22] de \mathbb{R}^{2}.
Agora, considere os conjuntos \mathcal{A}=\{[1,1,1],[1,1,0],[1,0,0]\} e \mathcal{B}=\{[1,3],[2,5]\}.
Escreva as coordenadas de T(u) na base \mathcal{B}.
Passo 1
O enunciado nos dá uma transformação linear
T(x,y,z) = (\,s,t\,) \quad\text{com}\quad s = 3x + 2y - 4z, \quad t = x - 5y + 3z
de \mathbb{R}^3 em \mathbb{R}^2.
Queremos encontrar as coordenadas de T(u) na base \mathcal{B} = \{\,[1,3],\,[2,5]\,\}
quando u varia pelos vetores da base \mathcal{A} = \{\,[1,1,1],\,[1,1,0],\,[1,0,0]\,\}.
Ou seja, para cada u_i\in\mathcal{A} calculamos T(u_i) e escrevemos