Use a fórmula de De Moivre para calcular:
Considere z=\operatorname{cis}\left(\frac{\pi}{7}\right). Calcule z^{7} e interprete o resultado.

Passo 1

O enunciado nos dá o número complexo em forma trigonométrica \displaystyle z=\operatorname{cis}\bigl(\tfrac{\pi}{7}\bigr)
e pede para calcular z^{7}. O conteúdo é a fórmula de De Moivre para potências de números complexos.

Passo 2

A fórmula de De Moivre estabelece que
(\operatorname{cis}(\theta))^{n} = \operatorname{cis}(n\theta).

Passo 3

Aplicando essa fórmula com \theta=\tfrac{\pi}{7} e n=7, temos
z^{7} = \bigl(\operatorname{cis}(\tfrac{\pi}{7})\bigr)^{7} = \operatorname{cis}\bigl(7\cdot\tfrac{\pi}{7}\bigr) = \operatorname{cis}(\pi).

Passo 4

Para interpretar, lembre que
\operatorname{cis}(\pi)=\cos(\pi)+i\sin(\pi)=-1+ i\cdot0 = -1.
Isto significa que elevar z a sétima potência corresponde a uma rotação de \pi radianos no círculo unitário, aterrissando no ponto real -1.

Resposta

z^{7} = -1.

Exercícios relacionados