Considere os conjuntos
\mathcal{A}=\{[1,1,1],[1,1,0],[1,0,0]\} e
\mathcal{B}=\{[1,3],[2,5]\}.
Muitas vezes, uma Transformação Linear (TL) é dada da seguinte forma
T(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, z)=(\underbrace{3 x+2 y-4 z}{\boldsymbol{s}}, \underbrace{x-5 y+3 z}{\boldsymbol{t}})
Trata-se de uma TL de
\mathbb{R}^{3} em
\mathbb{R}^{2}. Por que? Simplesmente porque
T está pronta para receber três variáveis (
\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, z ) e responde com duas, (
\boldsymbol{s}, \boldsymbol{t} ), depois que substituimos valores. Nesse exemplo,
\mathbb{R}^{3} é o domínio da TL e
\mathbb{R}^{2} é o contra-domínio da TL.
Por exemplo: se
x=1, y=-3 e
z=2, então
s=3(1)+2(-3)-4(2)=3-6-8=-11 \quad \text { e } \quad \boldsymbol{t}=1-5(-3)+3(2)=1+15+6=22
ou seja,
T leva o vetor
[1,-3,2] de
\mathbb{R}^{3} no vetor
[-11,22] de
\mathbb{R}^{2}.
Agora, considere os conjuntos
\mathcal{A}=\{[1,1,1],[1,1,0],[1,0,0]\} e
\mathcal{B}=\{[1,3],[2,5]\}.
Escreva as coordenadas de
T(u) na base
\mathcal{B}.