Considere os conjuntos
,
é divisível por 8
e
é divisível por 10
.
Considere as seguintes afirmaçôes:
I.
conjunto
possui 120 elementos.
II. O conjunto
possui 216 elementos.
III. O conjunto
possui 24 elementos.
É correto 0 que se afirma em
(A) II, apemas.
(B) III, apenas.
© I e II, apenas.
(D) I e III, apenas.
(E) I. II e III.
II. O conjunto
III. O conjunto
É correto 0 que se afirma em
(A) II, apemas.
(B) III, apenas.
© I e II, apenas.
(D) I e III, apenas.
(E) I. II e III.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três conjuntos:
- X: Números naturais entre 33 e 999.
- A: Números de X divisíveis por 8.
- B: Números de X divisíveis por 10.
Precisamos verificar se as afirmações sobre a quantidade de elementos nesses conjuntos estão corretas. Vamos precisar usar conceitos de contagem de múltiplos e princípios de conjuntos como união e interseção.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar quantos números em X são divisíveis por 8, ou seja, o conjunto A.
Para isso:
- O menor múltiplo de 8 maior ou igual a 33 é 40.
- O maior múltiplo de 8 menor ou igual a 999 é 992.
A quantidade de elementos em A é calculada por:
Então, o conjunto A tem 120 elementos. A afirmação I está correta.
Passo 3
Agora, vamos contar quantos números em X são divisíveis por 10, ou seja, o conjunto B.
Para isso:
- O menor múltiplo de 10 maior ou igual a 33 é 40.
- O maior múltiplo de 10 menor ou igual a 999 é 990.
A quantidade de elementos em B é:
Passo 4
Para encontrar o conjunto A ∪ B (números que são divisíveis por 8 ou por 10), usamos a fórmula da união:
Sabemos que |A| = 120 e |B| = 96. Precisamos encontrar |A ∩ B|, que são os números divisíveis por 40 (já que 40 é o mínimo comum múltiplo de 8 e 10).
Calculando:
- O menor múltiplo de 40 maior ou igual a 33 é 40.
- O maior múltiplo de 40 menor ou igual a 999 é 960.
A quantidade de elementos em A ∩ B é:
Passo 5
Agora, voltamos à fórmula da união:
A afirmação II diz que A ∪ B tem 216 elementos, mas calculamos 192. Portanto, a afirmação II está incorreta.
Já a afirmação III afirma que A ∩ B tem 24 elementos, o que confirma nosso cálculo. Então, a afirmação III está correta.
Resposta
(D) I e III, apenas.