Considere os conjuntos X=x in N mid 33 <= x <= 999,
A=a in X mid a é divisível por 8 e
B=b in X mid b é divisível por 10 .

Considere as seguintes afirmaçôes:

I. O conjunto A possui 120 elementos.
II. O conjunto A cup B possui 216 elementos.
III. O conjunto A cap B possui 24 elementos.
É correto 0 que se afirma em
(A) II, apemas.
(B) III, apenas.
© I e II, apenas.
(D) I e III, apenas.
(E) I. II e III.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três conjuntos:
  • X: Números naturais entre 33 e 999.
  • A: Números de X divisíveis por 8.
  • B: Números de X divisíveis por 10.
Precisamos verificar se as afirmações sobre a quantidade de elementos nesses conjuntos estão corretas. Vamos precisar usar conceitos de contagem de múltiplos e princípios de conjuntos como união e interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar quantos números em X são divisíveis por 8, ou seja, o conjunto A.
Para isso:
  • O menor múltiplo de 8 maior ou igual a 33 é 40.
  • O maior múltiplo de 8 menor ou igual a 999 é 992.
A quantidade de elementos em A é calculada por:
n = 992 - 408 + 1 = 120
Então, o conjunto A tem 120 elementos. A afirmação I está correta.

Passo 3

Agora, vamos contar quantos números em X são divisíveis por 10, ou seja, o conjunto B.
Para isso:
  • O menor múltiplo de 10 maior ou igual a 33 é 40.
  • O maior múltiplo de 10 menor ou igual a 999 é 990.
A quantidade de elementos em B é:
n = 990 - 4010 + 1 = 96

Passo 4

Para encontrar o conjunto A ∪ B (números que são divisíveis por 8 ou por 10), usamos a fórmula da união:
|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|
Sabemos que |A| = 120 e |B| = 96. Precisamos encontrar |A ∩ B|, que são os números divisíveis por 40 (já que 40 é o mínimo comum múltiplo de 8 e 10).
Calculando:
  • O menor múltiplo de 40 maior ou igual a 33 é 40.
  • O maior múltiplo de 40 menor ou igual a 999 é 960.
A quantidade de elementos em A ∩ B é:
n = 960 - 4040 + 1 = 24

Passo 5

Agora, voltamos à fórmula da união:
|A ∪ B| = 120 + 96 - 24 = 192
A afirmação II diz que A ∪ B tem 216 elementos, mas calculamos 192. Portanto, a afirmação II está incorreta.
Já a afirmação III afirma que A ∩ B tem 24 elementos, o que confirma nosso cálculo. Então, a afirmação III está correta.

Resposta

(D) I e III, apenas.

Exercícios relacionados