Os lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética. Se
e
são os ângulos agudos desse triângulo, então
é igual a
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(A)
(B)
©
(D)
(E)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um triângulo retângulo cujos lados estão em progressão aritmética. A tarefa é descobrir o valor de
, onde
e
são os ângulos agudos desse triângulo. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria sobre triângulos retângulos e progressão aritmética.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa os lados estarem em progressão aritmética (PA). Em uma PA, cada termo é igual ao anterior mais uma constante, chamada de razão. Então, se chamarmos os lados do triângulo de
,
e
, onde
é a razão da PA, temos que esses são os três lados do triângulo retângulo.
Passo 3
Sabemos que, em um triângulo retângulo, o maior lado é a hipotenusa. Então,
é a hipotenusa, e os outros dois lados são os catetos:
e
.
Passo 4
Agora, vamos usar o Teorema de Pitágoras, que diz que em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Ou seja:
Passo 5
Vamos expandir os quadrados e simplificar a equação:
Passo 6
Subtraindo
de ambos os lados para igualar a equação a zero:
Passo 7
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Passo 8
Isso nos dá duas soluções:
Como comprimento não pode ser negativo, descartamos
. Então,
.
Passo 9
Agora, sabemos que os lados do triângulo são:
Passo 10
Com esses valores, a hipotenusa é
, e os catetos são
e
.
Passo 11
Vamos agora calcular
e
. Em um triângulo retângulo:
Passo 12
Finalmente, somando os dois cossenos:
Resposta
A soma
é igual a
. Portanto, a resposta correta é a alternativa (E)
.