Os lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética. Se alpha e beta são os ângulos agudos desse triângulo, então cos alpha+cos beta é igual a
(A) 25
(B) 35
© 45
(D) 65
(E) 75

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um triângulo retângulo cujos lados estão em progressão aritmética. A tarefa é descobrir o valor de cos alpha + cos beta, onde alpha e beta são os ângulos agudos desse triângulo. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria sobre triângulos retângulos e progressão aritmética.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa os lados estarem em progressão aritmética (PA). Em uma PA, cada termo é igual ao anterior mais uma constante, chamada de razão. Então, se chamarmos os lados do triângulo de a, a + d e a + 2d, onde d é a razão da PA, temos que esses são os três lados do triângulo retângulo.

Passo 3

Sabemos que, em um triângulo retângulo, o maior lado é a hipotenusa. Então, a + 2d é a hipotenusa, e os outros dois lados são os catetos: a e a + d.

Passo 4

Agora, vamos usar o Teorema de Pitágoras, que diz que em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Ou seja:
a^2 + (a + d)^2 = (a + 2d)^2

Passo 5

Vamos expandir os quadrados e simplificar a equação:
a^2 + a^2 + 2ad + d^2 = a^2 + 4ad + 4d^2
2a^2 + 2ad + d^2 = a^2 + 4ad + 4d^2

Passo 6

Subtraindo a^2 + 4ad + 4d^2 de ambos os lados para igualar a equação a zero:
2a^2 + 2ad + d^2 - a^2 - 4ad - 4d^2 = 0
a^2 - 2ad - 3d^2 = 0

Passo 7

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para a. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
a = 2d pm raiz(2d)^2 + 12d^22
a = 2d pm raiz4d^2 + 12d^22 = 2d pm raiz16d^22 = 2d pm 4d2

Passo 8

Isso nos dá duas soluções:
a = 2d + 4d2 = 3d ou a = 2d - 4d2 = -d
Como comprimento não pode ser negativo, descartamos a = -d. Então, a = 3d.

Passo 9

Agora, sabemos que os lados do triângulo são:
a = 3d, a + d = 4d, a + 2d = 5d

Passo 10

Com esses valores, a hipotenusa é 5d, e os catetos são 3d e 4d.

Passo 11

Vamos agora calcular cos alpha e cos beta. Em um triângulo retângulo:
cos alpha = cateto adjacente a alphahipotenusa = 4d5d = 45
cos beta = cateto adjacente a betahipotenusa = 3d5d = 35

Passo 12

Finalmente, somando os dois cossenos:
cos alpha + cos beta = 45 + 35 = 75

Resposta

A soma cos alpha + cos beta é igual a 75. Portanto, a resposta correta é a alternativa (E) 75.

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