Considere uma progressão geométrica com termos positivos em que a soma dos três primeiros termos é 93 e a soma do segundo e terceiro termos é 90 .
Qual é o valor do terceiro termo dessa progressão?
(A) 12
(B) 35
© 40
(D) 75
(E) 90

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre Progressão Geométrica (PG), que é uma sequência de números onde cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão comum. Aqui, a soma dos três primeiros termos é 93 e a soma do segundo e terceiro termos é 90. Nosso objetivo é descobrir qual é o valor do terceiro termo dessa PG.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona uma PG. Em uma PG, cada termo é igual ao termo anterior multiplicado por uma razão $ r $. Se chamarmos o primeiro termo de $ a $, então os três primeiros termos da PG serão:
  • Primeiro termo: $ a $
  • Segundo termo: $ a \times r = ar $
  • Terceiro termo: $ ar \times r = ar^2 $

Passo 3

Agora, vamos usar as informações do exercício para montar as equações. Sabemos que:
  1. A soma dos três primeiros termos é 93:
    a + ar + ar^2 = 93
  2. A soma do segundo e terceiro termos é 90:
    ar + ar^2 = 90

Passo 4

Vamos resolver essas equações passo a passo. Primeiro, observe que a segunda equação é parte da primeira. Podemos subtrair a segunda equação da primeira para encontrar o valor de $ a $:
a
(a + ar + ar^2) - (ar + ar^2) = 93 - 90
Então, o primeiro termo $ a $ é 3.

Passo 5

Com o valor de $ a $ conhecido, vamos substituir na segunda equação para encontrar a razão $ r $:
a
r
Dividindo toda a equação por 3 para simplificar:
ar + ar^2 = 90
Reorganizando a equação:
3r + 3r^2 = 90
Agora, temos uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
r + r^2 = 30
onde $ a = 1 $, $ b = 1 $ e $ c = -30 $.
Calculando o discriminante ($ \Delta $):
r^2 + r - 30 = 0
Então,
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Isso nos dá duas soluções:
  1. $ r = \frac{-1 + 11}{2} = 5 $
  2. $ r = \frac{-1 - 11}{2} = -6 $
Como a progressão tem termos positivos, descartamos $ r = -6 $ e ficamos com $ r = 5 $.

Resposta

O terceiro termo da progressão geométrica é 75.
Alternativa (D) 75

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