Considere uma progressão geométrica com termos positivos em que a soma dos três primeiros termos é 93 e a soma do segundo e terceiro termos é 90 .
Qual é o valor do terceiro termo dessa progressão?
(A) 12
(B) 35
© 40
(D) 75
(E) 90
Qual é o valor do terceiro termo dessa progressão?
(A) 12
(B) 35
© 40
(D) 75
(E) 90
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre Progressão Geométrica (PG), que é uma sequência de números onde cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão comum. Aqui, a soma dos três primeiros termos é 93 e a soma do segundo e terceiro termos é 90. Nosso objetivo é descobrir qual é o valor do terceiro termo dessa PG.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona uma PG. Em uma PG, cada termo é igual ao termo anterior multiplicado por uma razão $ r $. Se chamarmos o primeiro termo de $ a $, então os três primeiros termos da PG serão:
- Primeiro termo: $ a $
- Segundo termo: $ a \times r = ar $
- Terceiro termo: $ ar \times r = ar^2 $
Passo 3
Agora, vamos usar as informações do exercício para montar as equações. Sabemos que:
-
A soma dos três primeiros termos é 93:
-
A soma do segundo e terceiro termos é 90:
Passo 4
Vamos resolver essas equações passo a passo. Primeiro, observe que a segunda equação é parte da primeira. Podemos subtrair a segunda equação da primeira para encontrar o valor de $ a $:
Então, o primeiro termo $ a $ é 3.
Passo 5
Com o valor de $ a $ conhecido, vamos substituir na segunda equação para encontrar a razão $ r $:
Dividindo toda a equação por 3 para simplificar:
Reorganizando a equação:
Agora, temos uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
onde $ a = 1 $, $ b = 1 $ e $ c = -30 $.
Calculando o discriminante ($ \Delta $):
Então,
Isso nos dá duas soluções:
- $ r = \frac{-1 + 11}{2} = 5 $
- $ r = \frac{-1 - 11}{2} = -6 $
Como a progressão tem termos positivos, descartamos $ r = -6 $ e ficamos com $ r = 5 $.
Resposta
O terceiro termo da progressão geométrica é 75.
Alternativa (D) 75