O enunciado trabalha em , o espaço vetorial de todas as matrizes sobre um corpo (por exemplo ). Definem-se dois subconjuntos
Queremos mostrar que cada um deles é subespaço de M(2,2). Para isso, vamos usar a definição de subespaço vetorial.
Passo 2
Um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se, e somente se, satisfaz três propriedades: 1) contém o vetor zero de V; 2) é fechado sob soma de vetores; 3) é fechado sob multiplicação por escalar.
Aqui o vetor zero é a matriz nula O=0&00&0.
Passo 3
Verificação para : ) A matriz nula tem primeiro elemento e último elemento , logo e . ) Se
estão em , então
também satisfaz a igualdade “primeiro elemento último elemento”, logo . ) Para escalar e
temos
onde de novo “primeiro último”, logo .
Assim, é subespaço.
Passo 4
Verificação para W2: 1) A matriz nula tem entrada c=0, logo Oin W2. 2) Se
A=a & b 0 & d, B=a'&b'0&d'
estão em W2, então
A+B =a+a' & b+b' 0+0 & d+d'
tem a entrada (2,1) igual a 0, logo A+Bin W2. 3) Para lambda escalar e
A=a & b 0 & din W2,
temos
lambda A =lambda a & lambda b lambdacdot0 & lambda d =lambda a & lambda b 0 & lambda d,
onde de novo a entrada (2,1) é 0, logo lambda Ain W2.
Portanto, W2 é subespaço.