Considere os conjuntos
Mostre que e são subespaços de .

Passo 1

O enunciado trabalha em M(2,2), o espaço vetorial de todas as matrizes 2times2 sobre um corpo (por exemplo R). Definem-se dois subconjuntos
W1 = la & b c & dm|a=dr e W2 = la & b c & dm|c=0r
Queremos mostrar que cada um deles é subespaço de M(2,2). Para isso, vamos usar a definição de subespaço vetorial.

Passo 2

Um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se, e somente se, satisfaz três propriedades:
1) contém o vetor zero de V;
2) é fechado sob soma de vetores;
3) é fechado sob multiplicação por escalar.
Aqui o vetor zero é a matriz nula O=0&00&0.

Passo 3

Verificação para :
) A matriz nula tem primeiro elemento e último elemento , logo e .
) Se
estão em , então
também satisfaz a igualdade “primeiro elemento último elemento”, logo .
) Para escalar e
temos
onde de novo “primeiro último”, logo .
Assim, é subespaço.

Passo 4

Verificação para W2:
1) A matriz nula tem entrada c=0, logo Oin W2.
2) Se
A=a & b 0 & d, B=a'&b'0&d'
estão em W2, então
A+B =a+a' & b+b' 0+0 & d+d'
tem a entrada (2,1) igual a 0, logo A+Bin W2.
3) Para lambda escalar e
A=a & b 0 & din W2,
temos
lambda A =lambda a & lambda b lambdacdot0 & lambda d =lambda a & lambda b 0 & lambda d,
onde de novo a entrada (2,1) é 0, logo lambda Ain W2.
Portanto, W2 é subespaço.

Resposta

Ambos W1 e W2 são subespaços de M(2,2).

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