Considere os seguintes subespaços de V=R^3
U=(x, y, z) in R^3 mid x=y e W=>=r((1,3,-1) ;(1,1,-1) ;(0,2,0))
Determine uma base e a dimensão de U+W U+W=R^3 ?

Passo 1

O enunciado define
U=(x,y,z)inR^3mid x=y e W=span(1,3,-1),,(1,1,-1),,(0,2,0),
e pede uma base e a dimensão de U+W, além de verificar se U+W=R^3. Vamos usar teoria de subespaços, cálculo de dimensões e interseção.

Passo 2

Primeiro, caracterizamos U. Se x=y, escrevemos
(x,y,z)=(s,s,t)=s,(1,1,0)+t,(0,0,1),
com parâmetros s,tinR. Logo
(1,1,0),,(0,0,1)
é uma base de U e dim U=2.

Passo 3

Agora
Para ver dependência, achamos coeficientes tais que
Isso gera o sistema
Da primeira equação , ou seja . Logo há liberdade em e a relação
mostra dependência linear. Assim . Uma base conveniente é

Passo 4

Para aplicar a fórmula dim(U+W)=dim U+dim W-dim(Ucap W), precisamos dim(Ucap W). Seja
win Ucap W
Então win W implica w=alpha(1,1,-1)+beta(0,2,0). Como win U, vale x=y, ou seja
alpha=alpha+2betaLongrightarrowbeta=0
Logo w=alpha(1,1,-1) e
Ucap W=span(1,1,-1),
portanto dim(Ucap W)=1.

Passo 5

Agora a dimensão do somatório:
dim(U+W)=dim U+dim W-dim(Ucap W)=2+2-1=3
Como R^3 tem dimensão 3, concluímos U+W=R^3.

Passo 6

Para dar uma base explícita de U+W, basta pegar uma base de U e acrescentar um vetor de W que não esteja em U. Por exemplo, de U tomamos
(1,1,0),;(0,0,1)
e de W escolhemos (0,2,0), que não satisfaz x=y. Verifica-se que
(1,1,0),;(0,0,1),;(0,2,0)
é um conjunto de três vetores independentemente linear em R^3, logo é base de U+W.

Resposta

Uma base de U+W é
(1,1,0),;(0,0,1),;(0,2,0),
dim(U+W)=3 e, portanto, U+W=R^3.

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