Considere os seguintes subespaços de
Determine uma base e a dimensão de
?
Passo 1
O enunciado define
e pede uma base e a dimensão de
, além de verificar se
. Vamos usar teoria de subespaços, cálculo de dimensões e interseção.
Passo 2
Primeiro, caracterizamos
. Se
, escrevemos
com parâmetros
. Logo
é uma base de
e
.
Passo 3
Agora
Para ver dependência, achamos coeficientes
tais que
Isso gera o sistema
Da primeira equação , ou seja
. Logo há liberdade em
e a relação
mostra dependência linear. Assim
. Uma base conveniente é
Passo 4
Para aplicar a fórmula
dim(U+W)=dim U+dim W-dim(Ucap W) , precisamos
dim(Ucap W) . Seja
Então
win W implica
w=alpha(1,1,-1)+beta(0,2,0) . Como
win U , vale
x=y , ou seja
Logo
w=alpha(1,1,-1) e
portanto
dim(Ucap W)=1 .
Passo 5
Agora a dimensão do somatório:
Como
R^3 tem dimensão
3 , concluímos
U+W=R^3 .
Passo 6
Para dar uma base explícita de
U+W , basta pegar uma base de
U e acrescentar um vetor de
W que não esteja em
U . Por exemplo, de
U tomamos
e de
W escolhemos
(0,2,0) , que não satisfaz
x=y . Verifica-se que
é um conjunto de três vetores independentemente linear em
R^3 , logo é base de
U+W .
Resposta
Uma base de
U+W é