Verifique se o conjunto abaixo é um espaço vetorial.
A=[ ll 0 & a b & 0 ] in M(2,2) rvert, a, b in R

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o conjunto A é um espaço vetorial. A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais e subespaços. Para resolver isso, vamos precisar lembrar quais são as propriedades que um conjunto precisa ter para ser considerado um espaço vetorial. Basicamente, precisamos checar se o conjunto A satisfaz todas as axiomas de um espaço vetorial, como presença de um vetor nulo, fechamento sob adição e multiplicação por escalar, entre outros.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o conjunto A. Ele é formado por matrizes 2x2 onde os elementos da diagonal principal são zero, e os elementos fora da diagonal podem ser quaisquer números reais. Em outras palavras:
A = [ cc 0 & a b & 0 ] , g| , a, b in R
Aqui, a e b são números reais que podem variar.

Passo 3

Vamos começar verificando se o conjunto A contém o vetor nulo. O vetor nulo em matrizes 2x2 é a matriz onde todos os elementos são zero:
0 = [ cc 0 & 0 0 & 0 ]
No nosso conjunto A, se a = 0 e b = 0, temos exatamente o vetor nulo. Então, A contém o vetor nulo. Isso é uma boa notícia!

Passo 4

Agora, vamos verificar o fechamento sob adição. Isso significa que se pegarmos duas matrizes quaisquer em A e somarmos elas, o resultado também deve estar em A.
Vamos considerar duas matrizes:
M1 = [ cc 0 & a b & 0 ], M2 = [ cc 0 & c d & 0 ]
A soma delas é:
M1 + M2 = [ cc 0 + 0 & a + c b + d & 0 + 0 ] = [ cc 0 & a + c b + d & 0 ]
Como a + c e b + d são números reais, a matriz resultante ainda está no conjunto A. Então, A é fechada sob adição.

Passo 5

Em seguida, vamos ver o fechamento sob multiplicação por escalar. Isso significa que se pegarmos qualquer matriz em A e multiplicarmos por um número real k, o resultado também deve estar em A.
Vamos considerar uma matriz qualquer em A:
M = [ cc 0 & a b & 0 ]
Multiplicando por um escalar k in R:
k cdot M = [ cc k cdot 0 & k cdot a k cdot b & k cdot 0 ] = [ cc 0 & k a k b & 0 ]
Como k a e k b são números reais, a matriz resultante ainda pertence a A. Portanto, A é fechada sob multiplicação por escalar.

Passo 6

Além dessas propriedades, precisamos garantir que todas as outras axiomas dos espaços vetoriais sejam atendidos, como a existência de inversos aditivos, associatividade e distributividade das operações.
Como A é um subconjunto de M(2,2) (o conjunto de todas as matrizes 2x2), e verificamos que ela contém o vetor nulo, é fechada sob adição e multiplicação por escalar, podemos concluir que todos os demais axiomas são herdados de M(2,2). Ou seja, A satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial.

Resposta

Sim, o conjunto A é um espaço vetorial.

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