Considere os conjuntos S abaixo. Verifique quais são subconjuntos dos respectivos espaços vetoriais V. Considere a, b, c \in \mathbb{R} :
\begin{aligned} & \bullet V=\mathbb{R}^{2} ; \quad S=\left[\begin{array}{l} a \\\ a \end{array}\right] ; \\\ & \bullet V=\mathbb{R}^{3} ; \quad S=\left[\begin{array}{l} a \\\ b \\\ c \end{array}\right], \operatorname{com} a+b+c=0 \end{aligned}
Passo 1
O enunciado pede para verificar, em cada caso, se o conjunto S \subset V
é de fato um subespaço vetorial de V. No primeiro caso temos
V = \mathbb{R}^2,\quad S = \{(a,a)\mid a\in\mathbb{R}\},
e no segundo
V = \mathbb{R}^3,\quad S = \{(a,b,c)\mid a+b+c=0\}.
O conteúdo é subespaços vetoriais, e vamos usar o teste padrão: verificar se \mathbf{0}\in S, se S é fechado sob soma e se é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Critério de subespaço: um subconjunto S de um espaço vetorial V é subespaço se, e somente se,
\mathbf{0}\in S.
Para quaisquer \mathbf{u},\mathbf{v}\in S, vale \mathbf{u}+\mathbf{v}\in S.
Para qualquer \mathbf{u}\in S e escalar \lambda\in\mathbb{R}, vale \lambda \mathbf{u}\in S.
Passo 3
Análise de S_1=\{(a,a)\}\subset\mathbb{R}^2:
Zero: tomando a=0 temos (0,0)\in S_1.
Soma: (a,a)+(b,b)=(a+b,a+b), que é da forma (c,c) com c=a+b, logo permanece em S_1.
Escalar: \lambda(a,a)=(\lambda a,\lambda a), que é da forma (c,c) com c=\lambda a, logo em S_1.
Portanto S_1 é subespaço de \mathbb{R}^2.
Passo 4
Análise de S_2=\{(a,b,c)\mid a+b+c=0\}\subset\mathbb{R}^3:
Zero: (0,0,0) satisfaz 0+0+0=0, logo \mathbf{0}\in S_2.
Soma: se (a_1,b_1,c_1) e (a_2,b_2,c_2) satisfazem a_1+b_1+c_1=0 e a_2+b_2+c_2=0, então
(a_1+a_2)+(b_1+b_2)+(c_1+c_2)=0+0=0,
logo a soma está em S_2.
3. Escalar: para \lambda\in\mathbb{R},