Dados os vetores u=(-2,3), v=(5,1) e w=(2,1), determine:
Um vetor z de norma igual a 4 e perpendicular ao vetor u+v.

Passo 1

O enunciado pede um vetor z\in\mathbb{R}^2 tal que \|z\|=4 e z seja perpendicular a u+v. Para resolver, vamos usar a condição de perpendicularidade via produto escalar e depois ajustar a norma por meio de um escalar.

Passo 2

Calcular u+v. Temos
u+v = (-2,3) + (5,1) = (3,4).

Passo 3

Um vetor perpendicular a (3,4) é obtido trocando as componentes e mudando o sinal de uma delas. Por exemplo,
(3,4)\cdot(4,-3) = 3\cdot4 + 4\cdot(-3) = 0,
logo (4,-3) é perpendicular a (3,4).

Passo 4

Seja z = t\,(4,-3). Então
\|z\| = \|t\,(4,-3)\| = |t|\sqrt{4^2 + (-3)^2} = 5|t|.
Queremos \|z\|=4, portanto
5|t| = 4 \quad\Longrightarrow\quad t = \pm \frac{4}{5}.
Assim
z = \pm \frac{4}{5}(4,-3) = \Bigl(\pm \tfrac{16}{5}, \mp \tfrac{12}{5}\Bigr).

Resposta

Uma escolha válida é
z = \Bigl(\tfrac{16}{5}, -\tfrac{12}{5}\Bigr),
pois \|z\|=4 e z\perp(u+v).

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