Mostre se os conjuntos abaixo formam ou não espaço vetorial. Em caso negativo, indique quais axiomas não são respeitados:
matrizes \left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & a\end{array}\right], com a \in \mathbb{R};

Passo 1

O enunciado define o conjunto
V = \Bigl\{M(a)=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[6pt]0 & a\end{pmatrix} : a\in\mathbb{R}\Bigr\}
e pergunta se V, com a soma de matrizes usual e a multiplicação escalar usual, é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}. Para decidir, vamos checar os principais axiomas de um espaço vetorial: fechamento sob soma, existência de vetor nulo e de inversos aditivos, e fechamento sob multiplicação escalar.]

Passo 2

Verificação do fechamento sob soma: sejam dois elementos quaisquer
M(a)=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[3pt]0 & a\end{pmatrix}, \quad M(b)=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[3pt]0 & b\end{pmatrix}.
Então
M(a)+M(b) =\begin{pmatrix}1 & 0 \\[3pt]0 & a\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}1 & 0 \\[3pt]0 & b\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2 & 0 \\[3pt]0 & a+b\end{pmatrix}.
O resultado tem entrada (1,1) igual a 2, não igual a 1. Logo \,M(a)+M(b)\notin V,
isto é, falha o fechamento sob soma.]

Passo 3

Verificação da existência do vetor nulo e de inverso aditivo:
  • O vetor nulo em um espaço de matrizes seria \mathbf{0}=\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix}, mas esse não pertence a V pois sua entrada (1,1) vale 0, não 1.
  • Para cada M(a) seu inverso aditivo seria -M(a)=\begin{pmatrix}-1 & 0\\\ 0 & -a\end{pmatrix}, cuja entrada (1,1) é -1\neq1, de modo que -M(a)\notin V.
Portanto não existe vetor nulo em V e não existem inversos aditivos dentro de V.

Passo 4

Verificação do fechamento sob multiplicação escalar: seja \alpha\in\mathbb{R} e M(a)\in V. Então
\alpha\,M(a) =\alpha \begin{pmatrix}1 & 0 \\[3pt]0 & a\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\alpha & 0 \\[3pt]0 & \alpha\,a\end{pmatrix}.
A entrada (1,1) passa a ser \alpha, que só vale 1 quando \alpha=1. Para \alpha\neq1 temos \alpha\,M(a)\notin V. Logo falha também o fechamento sob multiplicação escalar.]

Resposta

O conjunto V não é espaço vetorial.
Axiomas violados:
  • fechamento sob adição;
  • existência de vetor nulo;
  • existência de inversos aditivos;
  • fechamento sob multiplicação escalar.

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