Dados subespaços
e
de um espaço vetorial
, a soma de
e
, denotada de
, é o conjunto de todos os vetores em
que podem ser escritos como a soma de dois vetores, um em
e outro em
, ou seja:
a) Mostre que
é um subespaço de
;
b) Mostre que
e
são subespaços de
.
b) Mostre que
Passo 1
O enunciado diz que
e
são subespaços de um espaço vetorial
e define
Precisamos mostrar duas coisas:
(a) que é subespaço de
;
(b) que e
são subespaços de
.
(a) que
(b) que
Passo 2
Para provar que
é subespaço, o primeiro ponto é ver que
não é vazio e, em particular, contém o vetor zero de
. Como
e
são subespaços, sabemos que
e
. Logo
é da forma
com
e
, isto é,
.
Passo 3
Agora verificamos os fechamentos em
:
- Fechamento sob adição. Se
, então existem e tais que
Como
e
são subespaços,
e
. Então
- Fechamento sob multiplicação escalar. Se
é escalar e , então
Como
e
são subespaços,
e
, logo
.
Portanto, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar, e contém
. Concluímos que
é subespaço de
.
Portanto,
Passo 4
Para mostrar que
, basta notar que todo
pode ser escrito como
onde
. Logo
. Assim
é subespaço de
.
Passo 5
De modo análogo, para todo
temos
com
, o que mostra
. Portanto
também é subespaço de
.
Resposta
(a)
é subespaço de
.
(b) e
são subespaços de
.
(b)