Dados subespaços H e K de um espaço vetorial V, a soma de H e K, denotada de H+K, é o conjunto de todos os vetores em V que podem ser escritos como a soma de dois vetores, um em H e outro em K, ou seja:
H+K=\{\boldsymbol{v}: \boldsymbol{w}=\boldsymbol{h}+\boldsymbol{k} \mid \boldsymbol{h} \in H \text { e } \boldsymbol{k} \in K\} .
a) Mostre que H+K é um subespaço de V;
b) Mostre que H e K são subespaços de H+K.

Passo 1

O enunciado diz que H e K são subespaços de um espaço vetorial V e define
H+K = \{\,\boldsymbol{v}\in V : \boldsymbol{v} = \boldsymbol{h} + \boldsymbol{k},\;\boldsymbol{h}\in H,\;\boldsymbol{k}\in K\}.
Precisamos mostrar duas coisas:
(a) que H+K é subespaço de V;
(b) que H e K são subespaços de H+K.

Passo 2

Para provar que H+K é subespaço, o primeiro ponto é ver que H+K não é vazio e, em particular, contém o vetor zero de V. Como H e K são subespaços, sabemos que \boldsymbol{0}\in H e \boldsymbol{0}\in K. Logo
\boldsymbol{0} = \boldsymbol{0} + \boldsymbol{0}
é da forma \boldsymbol{h}+\boldsymbol{k} com \boldsymbol{h}\in H e \boldsymbol{k}\in K, isto é, \boldsymbol{0}\in H+K.

Passo 3

Agora verificamos os fechamentos em H+K:
  1. Fechamento sob adição. Se \boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2\in H+K, então existem \boldsymbol{h}_1,\boldsymbol{h}_2\in H e \boldsymbol{k}_1,\boldsymbol{k}_2\in K tais que
\boldsymbol{v}_1 = \boldsymbol{h}_1 + \boldsymbol{k}_1, \quad \boldsymbol{v}_2 = \boldsymbol{h}_2 + \boldsymbol{k}_2.
Como H e K são subespaços, \boldsymbol{h}_1+\boldsymbol{h}_2\in H e \boldsymbol{k}_1+\boldsymbol{k}_2\in K. Então
\boldsymbol{v}_1 + \boldsymbol{v}_2 = (\boldsymbol{h}_1+\boldsymbol{h}_2) + (\boldsymbol{k}_1+\boldsymbol{k}_2) \in H+K.
  1. Fechamento sob multiplicação escalar. Se \alpha é escalar e \boldsymbol{v}=\boldsymbol{h}+\boldsymbol{k}\in H+K, então
\alpha\,\boldsymbol{v} = \alpha\,\boldsymbol{h} + \alpha\,\boldsymbol{k}.
Como H e K são subespaços, \alpha\,\boldsymbol{h}\in H e \alpha\,\boldsymbol{k}\in K, logo \alpha\,\boldsymbol{v}\in H+K.
Portanto, H+K é fechado sob soma e sob multiplicação escalar, e contém \boldsymbol{0}. Concluímos que H+K é subespaço de V.

Passo 4

Para mostrar que H\subseteq H+K, basta notar que todo \boldsymbol{h}\in H pode ser escrito como
\boldsymbol{h} = \boldsymbol{h} + \boldsymbol{0},
onde \boldsymbol{0}\in K. Logo \boldsymbol{h}\in H+K. Assim H é subespaço de H+K.

Passo 5

De modo análogo, para todo \boldsymbol{k}\in K temos
\boldsymbol{k} = \boldsymbol{0} + \boldsymbol{k},
com \boldsymbol{0}\in H, o que mostra \boldsymbol{k}\in H+K. Portanto K também é subespaço de H+K.

Resposta

(a) H+K é subespaço de V.
(b) H e K são subespaços de H+K.

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