Considere os conjuntos B e C, B=(1,2,0,0),(0,1,1,0),(0,0,1,2) e C=(1,1,0,1),(1,1,0,0),(-2,-2,0,1). Sejam VB e VC os subespaços gerados por B e C respectivamente. Considere agora uma Transformção Linear T:R^4 R^4 que satisfaz T(VB)=VC.
Determine a matriz [T] da Transformação na base canônica de R^4.

Passo 1

O enunciado fornece os conjuntos
B=b1,b2,b3 e
C=c'1,c'2,c'3 em R^4 com
b1=(1,2,0,0), b2=(0,1,1,0), b3=(0,0,1,2),
c'1=(1,1,0,1), c'2=(1,1,0,0), c'3=(-2,-2,0,1)
Definimos os subespaços VB=span(b1,b2,b3) e VC=span(c'1,c'2,c'3).
A transformação linear T: R^4to R^4 satisfaz T(VB)=VC.
Para fixar um T específico, assumimos
T(bi)=c'i, i=1,2,3
Nosso objetivo é achar a matriz M=[T] na base canônica tal que
M,bi=c'i, i=1,2,3

Passo 2

Seja
M=[T]=[,c1;;c2;;c3;;c4,],
onde cada coluna cjin R^4. As condições M,bi=c'i geram o sistema
M,(1,2,0,0)=c1+2c2=(1,1,0,1),
M,(0,1,1,0)=c2+c3=(1,1,0,0),
M,(0,0,1,2)=c3+2c4=(-2,-2,0,1)

Passo 3

Reescrevendo em forma de expressões para as colunas:
c1 = (1,1,0,1) - 2,c2,
c3 = (1,1,0,0) - c2,
2,c4 = (-2,-2,0,1) - c3

Passo 4

Escolhendo o vetor livre
c2=(x,y,z,t)in R^4
obtemos
c1 = (1-2x,;1-2y,;-2z,;1-2t),
c3 = (1-x,;1-y,;-z,;-t),
c4 = tfrac12l((-2,-2,0,1)-c3r) =l(tfrac-3+x2,;tfrac-3+y2,;tfracz2,;tfrac1+t2r)
Logo, a matriz geral de T na base canônica é
M = 1-2x & x & 1-x & tfrac-3+x2 1-2y & y & 1-y & tfrac-3+y2 -2z & z & -z & tfracz2 1-2t & t & -t & tfrac1+t2 , x,y,z,tin R

Resposta

[T] = 1-2x & x & 1-x & tfrac-3+x2 1-2y & y & 1-y & tfrac-3+y2 -2z & z & -z & tfracz2 1-2t & t & -t & tfrac1+t2 , x,y,z,tin R

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