Considere o espaço vetorial V=R^4.
Seja beta=(0,1,0,0),(1,0,0,0),(0,0,0,1),(0,0,1,0) a base canônica do R^4. Construa as matrizes mudança de base [I]alpha^beta e[I]beta^alpha.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de álgebra linear, especificamente sobre mudança de base no espaço vetorial V = R^4 . O que a gente precisa fazer é construir duas matrizes de mudança de base: [I]alpha^beta e [I]beta^alpha. Isso vai nos ajudar a transformar coordenadas de um sistema de base alpha para outro sistema de base beta e vice-versa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma matriz de mudança de base. Imagine que você tem duas bases diferentes para o mesmo espaço vetorial. A matriz de mudança de base [I]alpha^beta serve para converter coordenadas de um vetor da base alpha para a base beta.
No nosso caso, a base beta é dada por:
beta = 0100, 1000, 0001, 0010
Vamos supor que a base alpha seja a base canônica padrão de R^4, que é:
alpha = 1000, 0100, 0010, 0001
Para construir [I]alpha^beta, vamos expressar cada vetor de beta em termos de alpha. Ou seja, cada vetor de beta será uma coluna na matriz [I]alpha^beta.
Então, temos:
[I]alpha^beta = 0 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 0

Passo 3

Agora, para encontrar [I]beta^alpha, que é a matriz de mudança de base de beta para alpha, precisamos calcular a matriz inversa de [I]alpha^beta.
Calculando a inversa da matriz que encontramos:
[I]beta^alpha = ( [I]alpha^beta )^-1 = 0 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 0 ^-1 = 0 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 0
Interessant notar que, nesse caso específico, a matriz é simétrica e sua própria inversa, ou seja, [I]beta^alpha = [I]alpha^beta.

Resposta

As matrizes de mudança de base são:
[I]alpha^beta = 0 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 0
[I]beta^alpha = 0 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 0

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