Considere os conjuntos B e C, B=(1,2,0,0),(0,1,1,0),(0,0,1,2) e C=(1,1,0,1),(1,1,0,0),(-2,-2,0,1). Sejam VB e VC os subespaços gerados por B e C respectivamente. Considere agora uma Transformção Linear T:R^4 R^4 que satisfaz T(VB)=VC.
A transformação T poderia ser definida de forma a ser injetiva? E sobrejetiva?

Passo 1

O enunciado dá dois conjuntos de vetores em R^4:
B=(1,2,0,0),;(0,1,1,0),;(0,0,1,2),
C=(1,1,0,1),;(1,1,0,0),;(-2,-2,0,1),
e define os subespaços VB=span(B) e VC=span(C). Queremos uma transforma\c{c}~{a}o linear T:R^4toR^4 tal que T(VB)=VC, e perguntar se T pode ser injetiva ou sobrejetiva.

Passo 2

Calcular dim VB. Os vetores de B formam a matriz
1&0&0 2&1&0 0&1&1 0&0&2 ,
que tem posto 3 (é triangular superior em três colunas). Logo
dim VB =3

Passo 3

Calcular dim VC. Todos os vetores de C têm componente 3 igual a zero, então o posto é no máximo 3. Fazendo redução de linhas,
1&1&-2 1&1&-2 0&0&0 1&0&1 ;longrightarrow; posto=2
Logo
dim VC=2

Passo 4

Da condição T(VB)=VC segue que a restrição
T|VB:VBto VC
é sobrejetiva. Pelo Teorema da Dimensão (ou Teorema Núcleo-Imagem),
dimker(T|VB)=dim VB-dim VC=3-2=1
Isso significa que existe vetor não nulo em VB que vai para zero, então T não pode ser injetiva.

Passo 5

Para ver a sobrejetividade de T:R^4toR^4, note que R^4=VBoplus W onde dim W=1. Em VB a imagem de T já ocupa exatamente VC (dimensão 2) e em W podemos gerar no máximo mais 1 dimensão. Assim
diml(Im,Tr)<= dim VC + dim T(W)<= 2+1=3<4,
portanto Im,TneqR^4 e T não pode ser sobrejetiva.

Resposta

T não pode ser injetiva.
T não pode ser sobrejetiva.

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