Considere os conjuntos e , e . Sejam e os subespaços gerados por e respectivamente. Considere agora uma Transformção Linear que satisfaz .
A transformação poderia ser definida de forma a ser injetiva? E sobrejetiva?
Passo 1
O enunciado dá dois conjuntos de vetores em :
e define os subespaços e . Queremos uma transforma\c{c}~{a}o linear tal que , e perguntar se pode ser injetiva ou sobrejetiva.
Passo 2
Calcular . Os vetores de formam a matriz
que tem posto 3 (é triangular superior em três colunas). Logo
dim VB =3
Passo 3
Calcular dim VC. Todos os vetores de C têm componente 3 igual a zero, então o posto é no máximo 3. Fazendo redução de linhas,
é sobrejetiva. Pelo Teorema da Dimensão (ou Teorema Núcleo-Imagem),
dimker(T|VB)=dim VB-dim VC=3-2=1
Isso significa que existe vetor não nulo em VB que vai para zero, então T não pode ser injetiva.
Passo 5
Para ver a sobrejetividade de T:R^4toR^4, note que R^4=VBoplus W onde dim W=1. Em VB a imagem de T já ocupa exatamente VC (dimensão 2) e em W podemos gerar no máximo mais 1 dimensão. Assim
diml(Im,Tr)<= dim VC + dim T(W)<= 2+1=3<4,
portanto Im,TneqR^4 e T não pode ser sobrejetiva.
Resposta
T não pode ser injetiva.
T não pode ser sobrejetiva.