Considere os conjuntos B e C, B=(1,2,0,0),(0,1,1,0),(0,0,1,2) e C=(1,1,0,1),(1,1,0,0),(-2,-2,0,1). Sejam VB e VC os subespaços gerados por B e C respectivamente.
Verifique que B é uma base de VB e determine uma base para VC formada por vetores de C.

Passo 1

O enunciado dá dois conjuntos em R^4:
B=(1,2,0,0),;(0,1,1,0),;(0,0,1,2) e
C=(1,1,0,1),;(1,1,0,0),;(-2,-2,0,1).
Definimos VB=span(B) e VC=span(C).
Conteúdo da matéria: espaços gerados, independência linear e base.
Vamos (i) mostrar que B é independente, logo é base de VB e (ii) extrair de C um subconjunto maximalmente independente.

Passo 2

Teste de independência de
Isso gera o sistema:
Da primeira equação vêm .
Depois .

Passo 3

Como a única solução é a=b=c=0, o conjunto B é linearmente independente.
Por definição, ele também gera VB, logo B é base de VB.

Passo 4

Agora em
Isso leva ao sistema:
Da quarta equação vem , logo .

Passo 5

Para extrair uma base de C basta escolher dois vetores independentes de C.
Por exemplo, (1,1,0,1) e (1,1,0,0) são independentes pois
alpha(1,1,0,1)+beta(1,1,0,0)=(0,0,0,0)
implica pelas componentes 4ª e 1ª/2ª que alpha=beta=0.

Resposta

B é uma base de VB.
Uma base para VC formada por vetores de C é
l(1,1,0,1),;(1,1,0,0)r

Exercícios relacionados