Considere os conjuntos e , e . Sejam e os subespaços gerados por e respectivamente.
Verifique que é uma base de e determine uma base para formada por vetores de .
Passo 1
O enunciado dá dois conjuntos em : e .
Definimos e .
Conteúdo da matéria: espaços gerados, independência linear e base.
Vamos (i) mostrar que é independente, logo é base de e (ii) extrair de um subconjunto maximalmente independente.
Passo 2
Teste de independência de
Isso gera o sistema:
Da primeira equação vêm dá .
Depois dá .
Passo 3
Como a única solução é a=b=c=0, o conjunto B é linearmente independente.
Por definição, ele também gera VB, logo B é base de VB.
Passo 4
Agora em
Isso leva ao sistema:
Da quarta equação vem , logo .
Passo 5
Para extrair uma base de C basta escolher dois vetores independentes de C.
Por exemplo, (1,1,0,1) e (1,1,0,0) são independentes pois
alpha(1,1,0,1)+beta(1,1,0,0)=(0,0,0,0)
implica pelas componentes 4ª e 1ª/2ª que alpha=beta=0.
Resposta
B é uma base de VB.
Uma base para VC formada por vetores de C é