Sempre que possível, calcule a inversa de cada uma das seguintes matrizes:
(a) [ccc1 & -1 & 0 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra encontrar a inversa da matriz [ccc1 & -1 & 0 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1]. A gente vai usar álgebra linear, especificamente o método de matrizes aumentadas e operações elementares. Vou te guiar passo a passo!

Passo 2

Primeiro, precisamos formar uma matriz aumentada com a matriz original e a matriz identidade do mesmo tamanho. A matriz identidade aqui é uma matriz 3x3 que tem 1 na diagonal principal e 0 nas outras posições:
[ccc|ccc 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 3

Agora, a ideia é transformar a parte da esquerda (a original) na matriz identidade usando operações de linha. Conforme fazemos isso, a parte da direita vai se transformar na inversa da matriz original.
Vamos começar pela primeira linha. Queremos que o primeiro elemento seja 1 (já está bom) e zeros abaixo dele.

Passo 4

Vamos zerar o elemento abaixo do 1 na primeira coluna. Subtraímos a primeira linha da segunda linha:
Linha2 = Linha2 - Linha1
[ccc|ccc 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 & -1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 5

Agora, vamos zerar o elemento abaixo do primeiro 1 na primeira coluna (já está zero na terceira linha, então seguimos para a segunda coluna). Queremos que na segunda coluna, o segundo elemento seja 1. Para isso, dividimos a segunda linha por 2:
Linha2 = (1/2) * Linha2
[ccc|ccc 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0.5 & -0.5 & 0.5 & 0 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 6

Agora, vamos zerar o elemento acima e abaixo do 1 na segunda coluna. Primeiro, na primeira linha:
Linha1 = Linha1 + Linha2
[ccc|ccc 1 & 0 & 0.5 & 0.5 & 0.5 & 0 0 & 1 & 0.5 & -0.5 & 0.5 & 0 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 ]
Em seguida, na terceira linha:
Linha3 = Linha3 - Linha2
[ccc|ccc 1 & 0 & 0.5 & 0.5 & 0.5 & 0 0 & 1 & 0.5 & -0.5 & 0.5 & 0 0 & 0 & 0.5 & 0.5 & -0.5 & 1 ]

Passo 7

Agora, vamos trabalhar com a terceira coluna. Queremos que o elemento da terceira coluna na terceira linha seja 1. Para isso, multiplicamos a terceira linha por 2:
Linha3 = 2 * Linha3
[ccc|ccc 1 & 0 & 0.5 & 0.5 & 0.5 & 0 0 & 1 & 0.5 & -0.5 & 0.5 & 0 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 2 ]

Passo 8

Agora, vamos zerar os elementos acima do 1 na terceira coluna. Primeiro, na primeira linha:
Linha1 = Linha1 - 0.5 * Linha3
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 0 & 1 & 0.5 & -0.5 & 0.5 & 0 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 2 ]
Em seguida, na segunda linha:
Linha2 = Linha2 - 0.5 * Linha3
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 0 & 1 & 0 & -1 & 1 & -1 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 2 ]

Passo 9

Agora, nossa matriz da esquerda é a matriz identidade, e a parte da direita é a inversa da matriz original:
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 0 & 1 & 0 & -1 & 1 & -1 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 2 ]

Resposta

A inversa da matriz dada é:
[ccc 0 & 1 & -1 -1 & 1 & -1 1 & -1 & 2 ]

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