Sejam . é bijetora? Em caso afirmativo determine a expressão da inversa .
Passo 1
O enunciado define uma transformação linear por
A tarefa é verificar se é bijetora e, em caso afirmativo, encontrar a expressão de . Vamos usar conceitos de matrizes de transformação linear, determinante e resolução de sistema linear para isso.
Passo 2
Vamos escrever na forma matricial , onde e
Calculamos o determinante de A:
det A =1cdotdet0&11&1 -(-2)cdotdet1&10&1 +0 =1,(0cdot1-1cdot1)+2,(1cdot1-0cdot1) =-1+2=1
Passo 3
Como det A=1neq0, a matriz A é invertível. Logo, T é inversível, isto é, bijetora.
Passo 4
Para achar
Da segunda equação vem (z = Y - x]. Substituindo na terceira:
Agora, na primeira:
Em seguida,
Passo 5
Portanto, para (X,Y,Z)inR^3,
T^-1(X,Y,Z) =l(-X+2Y-2Z,,-X+Y-Z,,X-Y+2Zr)
Resposta
Sim, T é bijetora e
T^-1(x,y,z) = l(-x + 2y - 2z,;-x + y - z,;x - y + 2zr)