Sejam T(x, y, z)=(x-2 y, x+z, y+z).
T é bijetora? Em caso afirmativo determine a expressão da inversa T^-1(x, y, z).

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear Tcolon R^3to R^3 por
T(x,y,z) = (,x-2y,;x+z,;y+z,)
A tarefa é verificar se T é bijetora e, em caso afirmativo, encontrar a expressão de T^-1. Vamos usar conceitos de matrizes de transformação linear, determinante e resolução de sistema linear para isso.

Passo 2

Vamos escrever T na forma matricial T(u)=A,u, onde u=(x,y,z) e
A = 1 & -2 & 0 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1
Calculamos o determinante de A:
det A =1cdotdet0&11&1 -(-2)cdotdet1&10&1 +0 =1,(0cdot1-1cdot1)+2,(1cdot1-0cdot1) =-1+2=1

Passo 3

Como det A=1neq0, a matriz A é invertível. Logo, T é inversível, isto é, bijetora.

Passo 4

Para achar
Da segunda equação vem (z = Y - x]. Substituindo na terceira:

Agora, na primeira:

Em seguida,

Passo 5

Portanto, para (X,Y,Z)inR^3,
T^-1(X,Y,Z) =l(-X+2Y-2Z,,-X+Y-Z,,X-Y+2Zr)

Resposta

Sim, T é bijetora e
T^-1(x,y,z) = l(-x + 2y - 2z,;-x + y - z,;x - y + 2zr)

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