Sejam .
Seja base de . Se , isto é, a matriz da transformação Linear dada no enunciado, escrita da base para a base é a matriz identidade em , então determine a base .
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
e dá a base
de . Queremos encontrar a base
tal que a matriz de de em seja a identidade, ou seja
Para isso, usaremos que a -ésima coluna de
é exatamente as coordenadas de na base .
Passo 2
O fato de equivale a exigir, para cada ,
onde
Assim, se escrevemos , cada condição dá um sistema de três equações lineares em .
Passo 3
Determinar
deve ser igual a . Isso gera o sistema
Das duas últimas equações vem .
Substituindo na primeira:
Logo e .
Portanto
Passo 4
Determinar
Das duas últimas equações segue .
Na primeira:
Então e .
Logo
Passo 5
Determinar
Da terceira equação vem .
Substituindo na primeira: