Sejam T(x, y, z)=(x-2 y, x+z, y+z).
Seja beta=(1,0,1),(2,0,0),(0,1,0) base de R^3. Se [T]alpha^beta=I d3, isto é, a matriz da transformação Linear T dada no enunciado, escrita da base beta para a base alpha é a matriz identidade em R^3, então determine a base alpha.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon R^3toR^3, T(x,y,z) = (x - 2y,;x + z,;y + z),
e dá a base
beta = (1,0,1),,(2,0,0),,(0,1,0)
de R^3. Queremos encontrar a base
alpha = alpha1,alpha2,alpha3
tal que a matriz de T de alpha em beta seja a identidade, ou seja
[T]alpha^beta = I3
Para isso, usaremos que a j-ésima coluna de [T]alpha^beta
é exatamente as coordenadas de T(alphaj) na base beta.

Passo 2

O fato de [T]alpha^beta=I3 equivale a exigir, para cada j=1,2,3,
T(alphaj) = betaj,
onde
beta1 = (1,0,1),;beta2=(2,0,0),;beta3=(0,1,0)
Assim, se escrevemos alphaj=(xj,yj,zj), cada condição dá um sistema de três equações lineares em xj,yj,zj.

Passo 3

Determinar
deve ser igual a . Isso gera o sistema
Das duas últimas equações vem .
Substituindo na primeira:
Logo e .
Portanto

Passo 4

Determinar
Das duas últimas equações segue .
Na primeira:
Então e .
Logo

Passo 5

Determinar
Da terceira equação vem .
Substituindo na primeira:
Então e .
Logo

Resposta

A base alpha que torna [T]alpha^beta=I3 é
alpha = ,(-3,-2,3),;(-2,-2,2),;(2,1,-1)

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