Considere o subconjunto de R^5, V=(x, y, z, w, k) in R^5: 2 x+z-3 w+k=0, y-3 z+w=0.
Verifique que o vetor (0,2,1,1,2) pertence a V e determine uma base de R^5 que contenha esse vetor.

Passo 1

O enunciado define o subespaço
V = (x,y,z,w,k)inR^5 mid 2x + z - 3w + k=0,;y - 3z + w=0
e pede (i) verificar que o vetor (0,2,1,1,2) pertence a V e (ii) estender esse vetor a uma base de R^5. Vamos usar substituição nas equações de V e depois lembrar que qualquer coleção de 5 vetores linearmente independentes em R^5 forma uma base.

Passo 2

Para ver se (0,2,1,1,2)in V, substituímos
x=0,;y=2,;z=1,;w=1,;k=2
nas duas equações:
2cdot0 + 1 - 3cdot1 + 2 = 0, 2 - 3cdot1 + 1 = 0
Como ambas dão zero, o vetor satisfaz as condições e portanto pertence a V.

Passo 3

Para completar a uma base de R^5, basta escolher mais quatro vetores que, junto com (0,2,1,1,2), fiquem linearmente independentes. Uma escolha simples é usar vetores da base canônica que não “repitam” combinações de (0,2,1,1,2). Por exemplo:
e1 = (1,0,0,0,0), e3 = (0,0,1,0,0), e4 = (0,0,0,1,0), e5 = (0,0,0,0,1)

Passo 4

Verificamos a independência linear de
v = (0,2,1,1,2),;e1,;e3,;e4,;e5
supondo
alpha,v + beta,e1 + gamma,e3 + de<a,e4 + varepsilon,e5 = (0,0,0,0,0)
Isso dá o sistema de coordenadas:
beta = 0, 2alpha = 0, alpha + gamma = 0, alpha + de<a = 0, 2alpha + varepsilon = 0
Da segunda equação vem alpha=0, e então beta=gamma=de<a=varepsilon=0. Logo são linearmente independentes.

Resposta

Uma base de R^5 que contém (0,2,1,1,2) é
l, (0,2,1,1,2),;(1,0,0,0,0),;(0,0,1,0,0),;(0,0,0,1,0),;(0,0,0,0,1)r

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