Considere o subconjunto de .
Verifique que o vetor pertence a e determine uma base de que contenha esse vetor.
Passo 1
O enunciado define o subespaço
e pede (i) verificar que o vetor pertence a e (ii) estender esse vetor a uma base de . Vamos usar substituição nas equações de e depois lembrar que qualquer coleção de 5 vetores linearmente independentes em forma uma base.
Passo 2
Para ver se , substituímos
nas duas equações:
Como ambas dão zero, o vetor satisfaz as condições e portanto pertence a .
Passo 3
Para completar a uma base de , basta escolher mais quatro vetores que, junto com , fiquem linearmente independentes. Uma escolha simples é usar vetores da base canônica que não “repitam” combinações de . Por exemplo:
Passo 4
Verificamos a independência linear de
supondo
Isso dá o sistema de coordenadas:
Da segunda equação vem alpha=0, e então beta=gamma=de<a=varepsilon=0. Logo são linearmente independentes.