Considere um sistema linear que tem como matriz aumentada a matriz (ccccc1 & 0 & 5 & 3+k & 4 -2 & 2 & k-10 & -2 k-7 & -12 0 & 2 & 2 k-1 & k^2-2 & k^2-k-4 1 & 0 & 5 & k^2+k+2 & 6+k). Determine todos os valores de k para os quais:
O sistema não tem solução.

Passo 1

O enunciado dá a matriz aumentada de um sistema linear em função de k:
(cccc|c 1 & 0 & 5 & 3+k & 4 -2 & 2 & k-10 & -2k-7 & -12 0 & 2 & 2k-1 & k^2-2 & k^2-k-4 1 & 0 & 5 & k^2+k+2 & k+6 )
Queremos os valores de k para os quais o sistema não tem solução, ou seja, para os quais o posto da matriz dos coeficientes é menor que o posto da matriz aumentada. Faremos eliminação de Gauss em função de k.

Passo 2

Usamos R1 para eliminar abaixo na coluna 1:
R2 R2 + 2,R1 e R4 R4 - R1. Obtemos
1 & 0 & 5 & 3+k & 4 0 & 2 & k & -1 & -4 0 & 2 & 2k-1 & k^2-2 & k^2-k-4 0 & 0 & 0 & k^2-1 & k+2

Passo 3

Agora eliminamos em R3 usando R2:
R3 R3 - R2, o que dá
1 & 0 & 5 & 3+k & 4 0 & 2 & k & -1 & -4 0 & 0 & k-1 & k^2-1 & k^2-k 0 & 0 & 0 & k^2-1 & k+2

Passo 4

Na forma escalonada vemos que a última linha é
[,0;;0;;0;;k^2-1mid k+2,]
Para haver linha do tipo [0;0;0;0mid beta] com betaneq0 (inconsistência) precisamos de
k^2 - 1 = 0 e k + 2 neq 0

Passo 5

Da equação k^2-1=0 vem k = 1 ou k=-1. Em ambos os casos k+2neq0. Logo são exatamente esses os valores que tornam a última linha [0;0;0;0midnão 0]ã e, portanto, o sistema fica sem solução.

Resposta

k = 1 ou k = -1.

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