Considere os conjuntos:
U=(x, y, z) ; x-2 y=0, V=(x, y, z) ; x+z=0 e x-2 y=0
Verifique que U e V sioo subespaços vetorias do R-espaço vetorial R^3;

Passo 1

O enunciado define
U = (x,y,z)in R^3 mid x - 2y = 0,
V = (x,y,z)in R^3 mid x - 2y = 0 e x + z = 0,
e pede para verificar que U e V são subespaços vetoriais de R^3. Para isso, vamos checar três propriedades para cada conjunto: contem o vetor zero, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que o vetor nulo (0,0,0) pertence a ambos:
Para U:
0 - 2cdot 0 = 0,
então (0,0,0)in U.
Para V:
0 - 2cdot 0 = 0 e 0 + 0 = 0,
então (0,0,0)in V.

Passo 3

Fechamento sob soma: sejam u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2).
Para U, se xi - 2yi=0 para i=1,2, então
(x1+x2) - 2(y1+y2) = (x1 - 2y1) + (x2 - 2y2) = 0 + 0 = 0,
logo u+vin U.
Para V, além de xi - 2yi=0 temos xi + zi=0; então
(x1+x2) - 2(y1+y2)=0 e (x1+x2)+(z1+z2) =(x1+z1)+(x2+z2)=0+0=0,
logo u+vin V.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação por escalar: seja lambdainR e u=(x,y,z).
Para U,
(lambda x) - 2(lambda y) = lambda,(x - 2y) = lambdacdot 0 = 0,
logo lambda uin U.
Para V, além de lambda (x - 2y)=0 temos
(lambda x) + (lambda z) = lambda,(x + z) = lambdacdot 0 = 0,
logo lambda uin V.

Passo 5

Como ambos contêm o vetor zero e são fechados sob soma e multiplicação escalar, concluímos que U e V são subespaços vetoriais de R^3.

Resposta

U e V são subespaços vetoriais de R^3.

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