Sabemos que o conjunto dos polinomios de grau n com coefientes em R, o qual denotamos por Pn(R) é um espaço vetorial. Em particular, o conjunto P3(R) é um espaço vetorail. Considere o subconjunto S=1-x,(1-x)^2,(1-x)^3 do R-espaço vetorial P3(R).
Mostre que [S] é um subespaço de P3(R);

Passo 1

O enunciado afirma que P3(R) é um espaço vetorial sobre R e define o subconjunto
S=,1-x,;(1-x)^2,;(1-x)^3
Precisamos mostrar que o espaço gerado [S] é um subespaço de P3(R). Para isso usamos a definição de subespaço: mostrar que [S]neqemptyset, que para quaisquer u,vin[S] temos u+vin[S] e que para todo alphainR e uin[S] segue alpha uin[S].

Passo 2

Definimos explicitamente
[S]=l,a(1-x)+b(1-x)^2+c(1-x)^3 mid a,b,cinRr
Cada combinação linear de polinômios de grau <=3 é um polinômio de grau <=3, logo
[S]subseteq P3(R)

Passo 3

Verificar que [S]neqemptyset: basta tomar a=b=c=0. Então
0(1-x)+0(1-x)^2+0(1-x)^3=0,
ou seja, o polinômio zero está em [S].

Passo 4

Fechamento sob adição. Sejam
u=a1(1-x)+b1(1-x)^2+c1(1-x)^3, v=a2(1-x)+b2(1-x)^2+c2(1-x)^3
em [S]. Então
u+v=(a1+a2)(1-x)+(b1+b2)(1-x)^2+(c1+c2)(1-x)^3,
e a1+a2,;b1+b2,;c1+c2inR. Logo u+vin[S].

Passo 5

Fechamento sob multiplicação escalar. Seja alphainR e
u=a(1-x)+b(1-x)^2+c(1-x)^3in[S]
Então
alpha u=(alpha a)(1-x)+(alpha b)(1-x)^2+(alpha c)(1-x)^3,
e alpha a,alpha b,alpha cinR. Logo alpha uin[S].

Passo 6

Concluímos que [S] contém o vetor zero, é fechado sob soma e escalares, logo é um subespaço vetorial de P3(R).

Resposta

O espaço gerado [S] é de fato um subespaço de P3(R).

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