Sabemos que o conjunto dos polinomios de grau
com coefientes em
, o qual denotamos por
é um espaço vetorial. Em particular, o conjunto
é um espaço vetorail. Considere o subconjunto
do
-espaço vetorial
.
Mostre que
é um subespaço de
;
Mostre que
Passo 1
O enunciado afirma que
é um espaço vetorial sobre
e define o subconjunto
Precisamos mostrar que o espaço gerado
é um subespaço de
. Para isso usamos a definição de subespaço: mostrar que
, que para quaisquer
temos
e que para todo
e
segue
.
Passo 2
Definimos explicitamente
Cada combinação linear de polinômios de grau
é um polinômio de grau
, logo
Passo 3
Verificar que
: basta tomar
. Então
ou seja, o polinômio zero está em
.
Passo 4
Fechamento sob adição. Sejam
em
. Então
e
. Logo
.
Passo 5
Fechamento sob multiplicação escalar. Seja
e
Então
e
. Logo
.
Passo 6
Concluímos que
contém o vetor zero, é fechado sob soma e escalares, logo é um subespaço vetorial de
.
Resposta
O espaço gerado
é de fato um subespaço de
.