( 2.5 pontos) Verifique se o conjunto das matrizes B^{2 \times 2} tais que b_{12}=1 é um subespaço de R^{2 \times 2}.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
S=\{\,B\in\mathbb{R}^{2\times 2}\mid b_{12}=1\,\},
isto é, todas as matrizes 2\times2 reais cuja entrada da primeira linha e segunda coluna vale 1. A pergunta é: verificar se S é um subespaço de \mathbb{R}^{2\times 2}.

Passo 2

Vou lembrar — de forma clara e prática — o que significa ser subespaço linear: um subconjunto V de um espaço vetorial W é subespaço se e somente se (condições equivalentes)
  1. V não é vazio e contém o vetor zero (no nosso caso, a matriz nula); e
  2. V é fechado por soma e por multiplicação por escalar: para quaisquer u,v\in V e qualquer escalar \alpha\in\mathbb{R} vale u+v\in V e \alpha u\in V.
Explicando cada item: a matriz zero (identidade aditiva) em \mathbb{R}^{2\times2} tem todas as entradas iguais a 0. Se um conjunto não contém essa matriz, ele não pode ser subespaço, porque o subespaço precisa ser fechado por combinação linear e em particular por multiplicação por 0.

Passo 3

Verificação imediata do primeiro requisito (contenção do vetor zero). A matriz zero é
0=\begin{pmatrix}0 & 0\\[2pt]0 & 0\end{pmatrix}.
A sua entrada (1,2) é 0, ou seja \,0_{12}=0. Pelo enunciado do conjunto precisamos de b_{12}=1. Logo a matriz zero não pertence a S, porque 0\notin S já que 0_{12}\neq1.]

Passo 4

Conclusão imediata a partir do passo anterior: como um subespaço deve conter a matriz zero e S não a contém, S não pode ser um subespaço de \mathbb{R}^{2\times2}. (Essa única observação já é suficiente para responder “não”.)

Passo 5

Para reforçar a ideia com um contraexemplo direto de fechamento por escalares e por soma — útil para a prova — considere duas matrizes em S:
A=\begin{pmatrix}0 & 1\\[2pt]0 & 0\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt]2 & 3\end{pmatrix}.
Elas pertencem a S porque ambas têm (1,2)-ésima entrada igual a 1. Agora:
  • Soma:
A+B=\begin{pmatrix}1 & 2\\[2pt]2 & 3\end{pmatrix},
e a entrada (1,2) de A+B é 2\neq1. Logo A+B\notin S; S não é fechado por adição.
  • Multiplicação por escalar:
0\cdot A=\begin{pmatrix}0 & 0\\[2pt]0 & 0\end{pmatrix},
e novamente a entrada (1,2) é 0\neq1, logo 0\cdot A\notin S; S não é fechado por multiplicação por escalar.
Ambos os contraexemplos confirmam que S falha nas propriedades que um subespaço precisa ter.]

Resposta

Não, S não é subespaço de \mathbb{R}^{2\times 2}.

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