( 2.5 pontos) Verifique se o conjunto das matrizes
tais que
é um subespaço de
.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
isto é, todas as matrizes
reais cuja entrada da primeira linha e segunda coluna vale
. A pergunta é: verificar se
é um subespaço de
.
Passo 2
Vou lembrar — de forma clara e prática — o que significa ser subespaço linear: um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço se e somente se (condições equivalentes)
-
não é vazio e contém o vetor zero (no nosso caso, a matriz nula); e -
é fechado por soma e por multiplicação por escalar: para quaisquer e qualquer escalar vale e .
Explicando cada item: a matriz zero (identidade aditiva) em
tem todas as entradas iguais a
. Se um conjunto não contém essa matriz, ele não pode ser subespaço, porque o subespaço precisa ser fechado por combinação linear e em particular por multiplicação por
.
Passo 3
Verificação imediata do primeiro requisito (contenção do vetor zero). A matriz zero é
A sua entrada
é
, ou seja
. Pelo enunciado do conjunto precisamos de
. Logo a matriz zero não pertence a
, porque
já que
.]
Passo 4
Conclusão imediata a partir do passo anterior: como um subespaço deve conter a matriz zero e
não a contém,
não pode ser um subespaço de
. (Essa única observação já é suficiente para responder “não”.)
Passo 5
Para reforçar a ideia com um contraexemplo direto de fechamento por escalares e por soma — útil para a prova — considere duas matrizes em
:
Elas pertencem a
porque ambas têm
-ésima entrada igual a
. Agora:
- Soma:
e a entrada
de
é
. Logo
;
não é fechado por adição.
- Multiplicação por escalar:
e novamente a entrada
é
, logo
;
não é fechado por multiplicação por escalar.
Ambos os contraexemplos confirmam que
falha nas propriedades que um subespaço precisa ter.]
Resposta
Não,
não é subespaço de
.