Seja
o conjunto dos números reais. Defina a soma e a multiplicação por escalar por
e
, respectivamente. Verifique se
é ou não um espaço vetorial em relação a essas operações.
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto de vetores como
com a “adição”
e a multiplicação escalar
Queremos ver se isso faz de
um espaço vetorial sobre si mesmo, ou seja, se satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial: em particular, se
é um grupo abeliano e se a multiplicação escalar interage corretamente.
Passo 2
Verificamos a existência de elemento neutro aditivo. Procuramos
tal que, para todo
,
Pela definição, isso é
Então
é candidato a neutro pela direita. De fato, para todo
,
Porém, também precisamos que
seja neutro pela esquerda:
Isso só vale se
. Logo, não existe elemento neutro aditivo que funcione simultaneamente à esquerda e à direita para todos
. Falha um dos axiomas de grupo abeliano.
Passo 3
Como não temos elemento neutro aditivo bilateral, já concluímos que
não é grupo abeliano. Sem grupo abeliano na “adição” não há espaço vetorial.