Seja R o conjunto dos números reais. Defina a soma e a multiplicação por escalar por u oplus v=u-v e alpha odot u=alpha u, respectivamente. Verifique se R é ou não um espaço vetorial em relação a essas operações.

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto de vetores como R com a “adição”
uoplus v = u - v
e a multiplicação escalar
alpha odot u = alpha,u
Queremos ver se isso faz de R um espaço vetorial sobre si mesmo, ou seja, se satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial: em particular, se (R,oplus) é um grupo abeliano e se a multiplicação escalar interage corretamente.

Passo 2

Verificamos a existência de elemento neutro aditivo. Procuramos einR tal que, para todo uinR,
uoplus e = u
Pela definição, isso é
u - e = u Longrightarrow e = 0
Então 0 é candidato a neutro pela direita. De fato, para todo u,
uoplus 0 = u
Porém, também precisamos que 0 seja neutro pela esquerda:
0oplus u = u Longrightarrow 0 - u = u Longrightarrow -u = u Longrightarrow u=0
Isso só vale se u=0. Logo, não existe elemento neutro aditivo que funcione simultaneamente à esquerda e à direita para todos u. Falha um dos axiomas de grupo abeliano.

Passo 3

Como não temos elemento neutro aditivo bilateral, já concluímos que (R,oplus) não é grupo abeliano. Sem grupo abeliano na “adição” não há espaço vetorial.

Resposta

R com essas operações não é um espaço vetorial, pois falta o elemento neutro aditivo bilateral (e portanto não há grupo abeliano em (R,oplus)).

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