Encontre a solução geral de cada uma das equaçÔes diferenciais usando o método de Variação dos Parùmetros.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO
usando o método de variação de parâmetros. Vamos precisar: 1) achar a solução geral da equação homogênea associada, 2) escolher uma base fundamental
, 3) calcular o Wronskiano, 4) aplicar as fórmulas de variação de parâmetros para obter
e
, 5) integrar para achar
e
e 6) montar a solução particular e somar com a homogênea.
Passo 2
A equação homogênea é
. A equação característica é
, com raiz dupla
. Logo uma base fundamental é
Passo 3
Calculamos as derivadas necessárias:
O Wronskiano é
Passo 4
Nas fórmulas de variação de parâmetros temos para
Passo 5
Integramos:
Desprezamos constantes de integração pois pertencem à solução homogênea.
Passo 6
A solução particular é
$$y_p=u_1y_1+u_2y_2=\Bigl(-\frac{t^2}{2}\ln t+\frac{t2}{4}\Bigr)e{-2t}+(t\ln t-t),t e^{-2t}.
$$
Passo 7
A solução geral é a soma da homogênea com a particular: