Encontre a solução geral de cada uma das equaçÔes diferenciais usando o método de Variação dos Parùmetros.
y^prime prime+4 y^prime+4 y=e^-2 t ln t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO y'' + 4y' + 4y = e^-2tln t usando o método de variação de parâmetros. Vamos precisar: 1) achar a solução geral da equação homogênea associada, 2) escolher uma base fundamental y1,y2, 3) calcular o Wronskiano, 4) aplicar as fórmulas de variação de parâmetros para obter u1' e u2', 5) integrar para achar u1 e u2 e 6) montar a solução particular e somar com a homogênea.

Passo 2

A equação homogênea é y''+4y'+4y=0. A equação característica é r^2+4r+4=(r+2)^2=0, com raiz dupla r=-2. Logo uma base fundamental é
y1(t)=e^-2t, y2(t)=t,e^-2t

Passo 3

Calculamos as derivadas necessárias:
y1'(t)=-2e^-2t, y2'(t)=e^-2t-2t,e^-2t=(1-2t)e^-2t
O Wronskiano é
W(t)=y1y2'-y1'y2=e^-2t,(1-2t)e^-2t-(-2e^-2t),t e^-2t=e^-4t

Passo 4

Nas fórmulas de variação de parâmetros temos para
f(t)=e^-2tln t,
u1'=-f(t)y2W=-e^-2tln tcdot t e^-2te^-4t=-tln t,
u2'=f(t)y1W=e^-2tln tcdot e^-2te^-4t=ln t

Passo 5

Integramos:
u1=-integral tln t,dt=-l(t^22ln t-t^24r)= -t^22ln t+t^24,
u2=integralln t,dt=tln t-t
Desprezamos constantes de integração pois pertencem à solução homogênea.

Passo 6

A solução particular é
$$y_p=u_1y_1+u_2y_2=\Bigl(-\frac{t^2}{2}\ln t+\frac{t2}{4}\Bigr)e{-2t}+(t\ln t-t),t e^{-2t}.
yp=u1y1+u2y2=l(-t^22ln t+t^24r)e^-2t+(tln t-t),t e^-2t y_p=\frac{t^2}{2}\ln t,e{-2t}-\frac{3}{4}t2 e^{-2t}.
$$

Passo 7

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(t)=C1e^-2t+C2t e^-2t+t^22ln t,e^-2t-34t^2 e^-2t

Resposta

y(t)=C1e^-2t+C2t e^-2t+t^22ln t,e^-2t-34t^2 e^-2t

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