Seja A=(ccc1 & -2 & -2 -2 & 1 & -2 -6 & 6 & -3).
(c) A matriz A é diagonalizável? Se for, encontre P tal que P^-1 A P é diagonal; se não for, justifique.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & -2 & -2 -2 & 1 & -2 -6 & 6 & -3
e pergunta se A é diagonalizável. Para isso, vamos calcular o polinômio característico det(A - lambda I), achar as raízes (autovalores) e, para cada autovalor, obter uma base de autovetores. Se encontrarmos três autovetores independentes em R^3, então A é diagonalizável.

Passo 2

Formamos
A - lambda I = 1 - lambda & -2 & -2 -2 & 1 - lambda & -2 -6 & 6 & -3 - lambda
e calculamos
det(A - lambda I) = -lambda^3 - lambda^2 + 9lambda + 9 ;Longrightarrow; lambda^3 + lambda^2 - 9lambda - 9 = 0

Passo 3

Fatorando por agrupamento,
lambda^3 + lambda^2 - 9lambda - 9 = (lambda + 1)(lambda^2 - 9) = (lambda + 1)(lambda - 3)(lambda + 3)
Logo os autovalores são
lambda1 = 3,;lambda2 = -3,;lambda3 = -1, todos distintos.

Passo 4

Para cada
:
Obtemos três autovetores independentes e .

Passo 5

Como há três autovalores distintos e três autovetores linearmente independentes, A é diagonalizável. Basta tomar a matriz P cujas colunas são esses autovetores e teremos
P^-1 A P = 3 & 0 & 0 0 & -3 & 0 0 & 0 & -1

Resposta

Podemos escolher
P = 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 -1 & 1 & 0 ,
de modo que
P^-1 A P = diag(3,,-3,,-1)

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