Considere um consumidor cujas preferências sobre o conjunto consumo são representadas pela função utilidade
sendo
as quantidade consumidas dos bens 1 e 2, respectivamente. Com base em tal função utilidade responda:
(a) Qual é o domínio desta função?
(b) Defina por compreensão a curva de indiferença associada ao nível de utilidade 10.
(c) Obtenha a função que representa a curva de indiferença para um nível de utilidade qualquer
.
(d) Esboce no plano
os gráficos das curvas de indiferença para
e
.
(a) Qual é o domínio desta função?
(b) Defina por compreensão a curva de indiferença associada ao nível de utilidade 10.
(c) Obtenha a função que representa a curva de indiferença para um nível de utilidade qualquer
(d) Esboce no plano
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, para a gente não se perder (tomei os símbolos exatamente como no enunciado).
- Dados: a função utilidade é
com . - Perguntas:
(a) Qual é o domínio desta função?
(b) Defina por compreensão a curva de indiferença associada ao nível de utilidade.
(c) Obtenha a função que representa a curva de indiferença para um nível de utilidade qualquer.
(d) Esboce no planoos gráficos das curvas de indiferença para e .
Passo 2
O que significa “domínio” aqui e como achar?
- Domínio de uma função são todos os pares
para os quais a expressão faz sentido. - A utilidade
é um produto simples; não há raiz de índice par, logaritmo, divisão por variável, etc. Logo a expressão faz sentido sempre que e pertençam ao conjunto indicado no enunciado, . - Observação sobre convenção: normalmente
aqui é entendido como o conjunto dos números reais não-negativos, isto é . Assim o domínio é o quadrante não-negativo do plano.
Passo 3
Resposta formal do domínio (a): escrevendo em notação de conjuntos.
- O domínio é o conjunto de todos os pares
com e . Em notação:
- Comentário didático: isso é só o “onde a função existe”. Não confundir com o conjunto de níveis de utilidade (que podem ser quaisquer
).
Passo 4
O que é uma curva de indiferença? (breve aula prática)
- Curva de indiferença associada a um nível
é o conjunto dos pontos do domínio que dão a mesma utilidade . Em termos matemáticos isso é um nível (ou conjunto de nível) da função utilidade: . - Nesta utilidade, as curvas de indiferença são soluções da equação
. Resolver essa equação dá a forma explícita da curva.
Passo 5
Curva de indiferença para
(b) — construção por compreensão e forma explícita.
- Por compreensão:
- Resolvendo para
: como , se temos
- Observação importante: não existe ponto com
nessa curva porque se então . Portanto a forma vale para (com ). Em notação completa:
Passo 6
Curva de indiferença para nível geral
(c) — derivação e caso especial.
- A condição geral é
. Para , dividindo por (com ) obtemos a forma explícita
- Em notação por compreensão:
- Caso especial
: a equação é satisfeita sempre que ou . Assim a curva de indiferença de é o conjunto das duas semi‑eixos:
Passo 7
Propriedades geométricas e interpretação (para ajudar a desenhar na prova).
- As curvas para
são ramos de hipérboles do tipo “rectangular” no primeiro quadrante: constante. Elas têm assimptotas nos eixos e (isto é, aproximam-se dos eixos quando uma coordenada vai a zero). - Para
a função explícita é estritamente decrescente em . Isso pode ser visto calculando a derivada:
o que confirma o formato decrescente.
Passo 8
Esboço das curvas para
e
(d) — pontos práticos para desenhar e relação entre as curvas.
- Equações:
- Para
: . - Para
: .
- Para
- Alguns pontos úteis a plotar (calculei para facilitar o rascunho):
- Se
: para ; para . - Se
: para ; para . - Se
: para ; para .
- Se
- Como regra prática para o esboço: desenhe eixos
(horizontal) e (vertical), marque os pontos acima e ligue com uma curva suave que decresce e se aproxima dos eixos. A curva de estará sempre “acima” da curva de para cada mesmo , porque para mesmo
- Conclusão gráfica: duas hipérboles no primeiro quadrante,
mais afastada da origem do que . Ambas nunca tocam os eixos (exceto no limite).
Passo 9
Dicas finais para a prova (como fazer rápido no rascunho)
- Escreva a equação do nível
e isole para plotar rapidamente: . - Para comparar dois níveis
e , note que se então a curva de fica acima da de no primeiro quadrante, isto é, representa preferências estritamente maiores.
Resposta
(a)
(b)
(c) Para
:
Para :
Para
(d) Equações para esboço:
.
.
Pontos úteis para plotar: para
e
para
. A curva
está sempre acima da curva
no primeiro quadrante.
Pontos úteis para plotar: