Considere um consumidor cujas preferências sobre o conjunto consumo são representadas pela função utilidade u\left(x_{1}, x_{2}\right)=2 x_{1} x_{2} sendo x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R}_{+}as quantidade consumidas dos bens 1 e 2, respectivamente. Com base em tal função utilidade responda:
(a) Qual é o domínio desta função?
(b) Defina por compreensão a curva de indiferença associada ao nível de utilidade 10.
(c) Obtenha a função que representa a curva de indiferença para um nível de utilidade qualquer u \geq 0.
(d) Esboce no plano x_{1} x_{2} os gráficos das curvas de indiferença para u=10 e u=20.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, para a gente não se perder (tomei os símbolos exatamente como no enunciado).
  • Dados: a função utilidade é u(x_{1},x_{2})=2x_{1}x_{2} com x_{1},x_{2}\in\mathbb{R}_{+}.
  • Perguntas:
    (a) Qual é o domínio desta função?
    (b) Defina por compreensão a curva de indiferença associada ao nível de utilidade 10.
    (c) Obtenha a função que representa a curva de indiferença para um nível de utilidade qualquer u\geq 0.
    (d) Esboce no plano x_{1}x_{2} os gráficos das curvas de indiferença para u=10 e u=20.

Passo 2

O que significa “domínio” aqui e como achar?
  • Domínio de uma função são todos os pares (x_{1},x_{2}) para os quais a expressão faz sentido.
  • A utilidade u(x_{1},x_{2})=2x_{1}x_{2} é um produto simples; não há raiz de índice par, logaritmo, divisão por variável, etc. Logo a expressão faz sentido sempre que x_{1} e x_{2} pertençam ao conjunto indicado no enunciado, \mathbb{R}_{+}.
  • Observação sobre convenção: normalmente \mathbb{R}_{+} aqui é entendido como o conjunto dos números reais não-negativos, isto é [0,\infty). Assim o domínio é o quadrante não-negativo do plano.

Passo 3

Resposta formal do domínio (a): escrevendo em notação de conjuntos.
  • O domínio é o conjunto de todos os pares (x_{1},x_{2}) com x_{1}\ge 0 e x_{2}\ge 0. Em notação:
\{(x_{1},x_{2})\in\mathbb{R}^{2}\mid x_{1}\ge 0,\; x_{2}\ge 0\}.
  • Comentário didático: isso é só o “onde a função existe”. Não confundir com o conjunto de níveis de utilidade (que podem ser quaisquer u\ge0).

Passo 4

O que é uma curva de indiferença? (breve aula prática)
  • Curva de indiferença associada a um nível u_{0} é o conjunto dos pontos (x_{1},x_{2}) do domínio que dão a mesma utilidade u_{0}. Em termos matemáticos isso é um nível (ou conjunto de nível) da função utilidade: \{(x_{1},x_{2})\mid u(x_{1},x_{2})=u_{0}\}.
  • Nesta utilidade, as curvas de indiferença são soluções da equação 2x_{1}x_{2}=u_{0}. Resolver essa equação dá a forma explícita da curva.

Passo 5

Curva de indiferença para u=10 (b) — construção por compreensão e forma explícita.
  • Por compreensão:
\{(x_{1},x_{2})\in\mathbb{R}_{+}^{2}\mid 2x_{1}x_{2}=10\}.
  • Resolvendo para x_{2}: como 2x_{1}x_{2}=10, se x_{1}>0 temos
x_{2}=\frac{10}{2x_{1}}=\frac{5}{x_{1}}.
  • Observação importante: não existe ponto com x_{1}=0 nessa curva porque se x_{1}=0 então 2x_{1}x_{2}=0\neq 10. Portanto a forma x_{2}=5/x_{1} vale para x_{1}>0 (com x_{2}>0). Em notação completa:
\{(x_{1},x_{2})\in\mathbb{R}_{+}^{2}\mid x_{1}>0,\; x_{2}=\tfrac{5}{x_{1}}\}.

Passo 6

Curva de indiferença para nível geral u\ge 0 (c) — derivação e caso especial.
  • A condição geral é 2x_{1}x_{2}=u. Para u>0, dividindo por 2x_{1} (com x_{1}>0) obtemos a forma explícita
x_{2}=\frac{u}{2x_{1}}\qquad\text{para }x_{1}>0.
  • Em notação por compreensão:
\{(x_{1},x_{2})\in\mathbb{R}_{+}^{2}\mid x_{1}>0,\; x_{2}=\tfrac{u}{2x_{1}}\},\quad\text{se }u>0.
  • Caso especial u=0: a equação 2x_{1}x_{2}=0 é satisfeita sempre que x_{1}=0 ou x_{2}=0. Assim a curva de indiferença de u=0 é o conjunto das duas semi‑eixos:
\{(x_{1},x_{2})\in\mathbb{R}_{+}^{2}\mid x_{1}=0\\ \text{ou}\\ x_{2}=0\}.

Passo 7

Propriedades geométricas e interpretação (para ajudar a desenhar na prova).
  • As curvas para u>0 são ramos de hipérboles do tipo “rectangular” no primeiro quadrante: x_{1}x_{2}= constante. Elas têm assimptotas nos eixos x_{1}=0 e x_{2}=0 (isto é, aproximam-se dos eixos quando uma coordenada vai a zero).
  • Para u>0 a função explícita x_{2}=\dfrac{u}{2x_{1}} é estritamente decrescente em x_{1}. Isso pode ser visto calculando a derivada:
\frac{dx_{2}}{dx_{1}}=-\frac{u}{2x_{1}^{2}}<0\quad\text{para }u>0,\\ x_{1}>0,
o que confirma o formato decrescente.

Passo 8

Esboço das curvas para u=10 e u=20 (d) — pontos práticos para desenhar e relação entre as curvas.
  • Equações:
    • Para u=10: x_{2}=\dfrac{10}{2x_{1}}=\dfrac{5}{x_{1}}.
    • Para u=20: x_{2}=\dfrac{20}{2x_{1}}=\dfrac{10}{x_{1}}.
  • Alguns pontos úteis a plotar (calculei para facilitar o rascunho):
    • Se x_{1}=1: x_{2}=5 para u=10; x_{2}=10 para u=20.
    • Se x_{1}=2: x_{2}=2{,}5 para u=10; x_{2}=5 para u=20.
    • Se x_{1}=5: x_{2}=1 para u=10; x_{2}=2 para u=20.
  • Como regra prática para o esboço: desenhe eixos x_{1} (horizontal) e x_{2} (vertical), marque os pontos acima e ligue com uma curva suave que decresce e se aproxima dos eixos. A curva de u=20 estará sempre “acima” da curva de u=10 para cada mesmo x_{1}>0, porque para mesmo x_{1}
\frac{10}{x_{1}}>\frac{5}{x_{1}}.
  • Conclusão gráfica: duas hipérboles no primeiro quadrante, u=20 mais afastada da origem do que u=10. Ambas nunca tocam os eixos (exceto no limite).

Passo 9

Dicas finais para a prova (como fazer rápido no rascunho)
  • Escreva a equação do nível 2x_{1}x_{2}=u_{0} e isole x_{2} para plotar rapidamente: x_{2}=u_{0}/(2x_{1}).
  • Para comparar dois níveis u_{A} e u_{B}, note que se u_{B}>u_{A} então a curva de u_{B} fica acima da de u_{A} no primeiro quadrante, isto é, representa preferências estritamente maiores.

Resposta

(a) \{(x_{1},x_{2})\in\mathbb{R}^{2}\mid x_{1}\ge 0,\;x_{2}\ge 0\}.
(b) \{(x_{1},x_{2})\in\mathbb{R}_{+}^{2}\mid 2x_{1}x_{2}=10\}=\{(x_{1},x_{2})\in\mathbb{R}_{+}^{2}\mid x_{1}>0,\;x_{2}=\tfrac{5}{x_{1}}\}.
(c) Para u>0:
\{(x_{1},x_{2})\in\mathbb{R}_{+}^{2}\mid 2x_{1}x_{2}=u\}=\{(x_{1},x_{2})\in\mathbb{R}_{+}^{2}\mid x_{1}>0,\;x_{2}=\tfrac{u}{2x_{1}}\}.
Para u=0:
\{(x_{1},x_{2})\in\mathbb{R}_{+}^{2}\mid x_{1}=0\\ \text{ou}\\ x_{2}=0\}.
(d) Equações para esboço:
u=10:\;x_{2}=\dfrac{5}{x_{1}}.
u=20:\;x_{2}=\dfrac{10}{x_{1}}.
Pontos úteis para plotar: (1,5),(2,2{,}5),(5,1) para u=10 e (1,10),(2,5),(5,2) para u=20. A curva u=20 está sempre acima da curva u=10 no primeiro quadrante.

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