Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
\lim _{(x, y, z) \rightarrow(0,0,0)} \frac{x y-y z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}

Passo 1

O enunciado pede determinar o limite, se existir, ou mostrar que o limite não existe, do seguinte quociente quando (x,y,z) tende para (0,0,0):
\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)} \frac{x y - y z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Informações importantes dadas:
  • A função é f(x,y,z)=\dfrac{x y - y z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
  • O ponto de interesse é (0,0,0).
  • A dúvida é se existe um único valor L tal que f(x,y,z)\to L quando (x,y,z)\to(0,0,0), independentemente do caminho de aproximação.

Passo 2

Estratégia que vou usar (bem prática para provas): explicar primeiro o critério para testar existência do limite em várias variáveis e depois aplicar.
  • Conceito usado: se existir \displaystyle\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)} f(x,y,z)=L, então para qualquer caminho que leve (x,y,z) a (0,0,0) o valor de f ao longo desse caminho também deve tender a L.
  • Portanto, uma forma simples de provar que o limite NÃO existe é encontrar dois caminhos diferentes que tendem a (0,0,0) e para os quais os limites dos valores de f sejam diferentes. Se eu achar dois caminhos com limites distintos, isso já é suficiente para concluir que o limite global não existe.
    Vou aplicar esse método: escolher caminhos simples (linhas) e calcular o valor de f ao longo desses caminhos.

Passo 3

Escolho o caminho 1: tomar x=t, y=t, z=0 com t\to0. Substituindo em f:
f(t,t,0)=\frac{t\cdot t - t\cdot 0}{t^{2}+t^{2}+0^{2}} = \frac{t^{2}}{2t^{2}}.
Simplificando (para t\neq0):
f(t,t,0)=\frac{1}{2}.
Logo, quando t\to0,
\lim_{t\to0} f(t,t,0)=\frac{1}{2}.

Passo 4

Escolho o caminho 2: tomar x=t, y=0, z=t com t\to0. Substituindo em f:
f(t,0,t)=\frac{t\cdot 0 - 0\cdot t}{t^{2}+0^{2}+t^{2}} = \frac{0}{2t^{2}}.
Portanto, para todo t\neq0,
f(t,0,t)=0,
e assim
\lim_{t\to0} f(t,0,t)=0.

Passo 5

Observação crucial: ao aproximar (0,0,0) pelo caminho (t,t,0) o valor de f tende a \dfrac{1}{2}, enquanto ao aproximar pelo caminho (t,0,t) o valor de f tende a 0. Os dois limites ao longo de caminhos distintos são diferentes.

Resposta

O limite não existe.

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