Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
O enunciado pede determinar o limite, se existir, ou mostrar que o limite não existe, do seguinte quociente quando
tende para
:
Informações importantes dadas:
- A função é
. - O ponto de interesse é
. - A dúvida é se existe um único valor
tal que quando , independentemente do caminho de aproximação.
Passo 2
Estratégia que vou usar (bem prática para provas): explicar primeiro o critério para testar existência do limite em várias variáveis e depois aplicar.
- Conceito usado: se existir
, então para qualquer caminho que leve a o valor de ao longo desse caminho também deve tender a . - Portanto, uma forma simples de provar que o limite NÃO existe é encontrar dois caminhos diferentes que tendem a
e para os quais os limites dos valores de sejam diferentes. Se eu achar dois caminhos com limites distintos, isso já é suficiente para concluir que o limite global não existe.
Vou aplicar esse método: escolher caminhos simples (linhas) e calcular o valor deao longo desses caminhos.
Passo 3
Escolho o caminho 1: tomar
,
,
com
. Substituindo em
:
Simplificando (para
):
Logo, quando
,
Passo 4
Escolho o caminho 2: tomar
,
,
com
. Substituindo em
:
Portanto, para todo
,
e assim
Passo 5
Observação crucial: ao aproximar
pelo caminho
o valor de
tende a
, enquanto ao aproximar pelo caminho
o valor de
tende a
. Os dois limites ao longo de caminhos distintos são diferentes.
Resposta
O limite não existe.